Линейные неравенства и приводимые к ним неравенства с параметрами. Задача 19А

19А. Решите неравенство при всех значениях параметра а: \(a\left( {a\,x-1} \right) \geqslant x + 1.\)

Ответ

ОТВЕТ: нет решений при \(a = 1;\) \(x \in R\) при \(a = -1;\) \(x \geqslant \frac{1}{{a-1}}\) при \(a \in \left( {-\infty ;-1} \right) \cup \left( {1;\infty } \right);\) \(x \leqslant \frac{1}{{a-1}}\) при \(a \in \left( {-1;1} \right).\)

Решение

\(a\left( {a\,x-1} \right) \ge x + 1\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{a^2}x-x \ge a + 1\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left( {{a^2}-1} \right)x \ge a + 1.\)

\({a^2}-1 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1,\,\,\,\,}\\{a = -1.}\end{array}} \right.\)

Если \(a = 1\), то неравенство примет вид \(0 \cdot x \ge 2\), в этом случае решений нет.

Если \(a = -1\), то \(0 \cdot x \ge 0,\) в этом случае решение \(x\, \in \,R.\)

Если \({a^2}-1 > 0\), то есть \(a\, \in \,\left( {-\infty ;-1} \right) \cup \left( {1;\infty } \right)\), то:

\(x \ge \frac{{a + 1}}{{{a^2}-1}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x \ge \frac{{a + 1}}{{\left( {a-1} \right)\left( {a + 1} \right)}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x \ge \frac{1}{{a-1}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x \in \left[ {\frac{1}{{a-1}};\,\infty } \right).\)

Если \({a^2}-1 < 0\), то есть \(a\, \in \,\left( {-1;1} \right)\), то

\(x \le \frac{{a + 1}}{{{a^2}-1}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x \le \frac{{a + 1}}{{\left( {a-1} \right)\left( {a + 1} \right)}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x \le \frac{1}{{a-1}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x \in \left( {-\infty ;\,\frac{1}{{a-1}}} \right].\)