20В. При каких значениях параметра a решения системы уравнений  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + a\,y = 3,}\\{a\,x + 4\,y = 6}\end{array}} \right.\)  находятся вне окружности  \({x^2} + {y^2} = 1\)?

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {-3\sqrt 5 -2;-2} \right) \cup \left( {-2;3\sqrt 5 -2} \right).\)

Решение

Определим, при каких значениях параметра  a,  прямые, соответствующие уравнениям системы, будут параллельны или совпадать. Для этого необходимо выполнение следующего условия:

\(\frac{1}{a} = \frac{a}{4}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{a_1} = 2,\;\;\;\;{a_2} = -2.\)

Если  \(a = 2,\)  то система примет вид:  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2y = 3,\;}\\{2x + 4y = 6}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2y = 3,}\\{x + 2y = 3.}\end{array}} \right.\)

То есть уравнения совпадают и решением системы являются все точки, принадлежащие прямой  \(x + 2y = 3.\)  Проверим, имеют ли окружность  \({x^2} + {y^2} = 1\)  и прямая  \(x + 2y = 3\)  общие точки:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + {y^2} = 1,}\\{x + 2y = 3\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {3-2y} \right)}^2} + {y^2} = 1,}\\{x = 3-2y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5{y^2}-12y + 8 = 0,}\\{x = 3-2y.\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,}\end{array}} \right.\)

Так как дискриминант последнего квадратного уравнения \(D = -16 < 0,\)  то прямая и окружность не будут иметь общих точек, следовательно, при  \(a = 2\)  все решения системы находятся вне окружности, поэтому  \(a = 2\)  подходит.

Если  \(a = -2,\)  то система примет вид:  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-2y = 3,\;\;\;\,}\\{-2x + 4y = 6}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-2y = 3,\;\;}\\{x-2y = -3.}\end{array}} \right.\)

То есть система уравнений не имеет решений.

Если  \(a \ne  \pm 2,\)  то  исходная система имеет одно решение:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3-ay,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{3a-{a^2}y + 4y = 6}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3-ay,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{3a-6-y\left( {{a^2}-4} \right) = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3-ay,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{3\left( {a-2} \right)-y\left( {a-2} \right)\left( {a + 2} \right) = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3-ay,}\\{y = \frac{3}{{2 + a}}\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3-\frac{{3a}}{{2 + a}},}\\{y = \frac{3}{{2 + a}}\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{6}{{2 + a}},}\\{y = \frac{3}{{2 + a}}.}\end{array}} \right.\)

Чтобы решение последней системы находилось вне окружности \({x^2} + {y^2} = 1,\)  необходимо, чтобы расстояние от начала координат до точки  \(\left( {\frac{6}{{2 + a}};\frac{3}{{2 + a}}} \right)\)  было больше радиуса окружности, то есть больше 1:

\(\sqrt {\frac{{36}}{{{{\left( {2 + a} \right)}^2}}} + \frac{9}{{{{\left( {2 + a} \right)}^2}}}}  > 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{45}}{{{{\left( {2 + a} \right)}^2}}} > 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {2 + a} \right)^2} < 45\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {2 + a-\sqrt {45} } \right)\left( {2 + a + \sqrt {45} } \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {-2-3\sqrt 5 ;-2 + 3\sqrt 5 } \right).\)

Таким образом, при  \(a \in \left( {-3\sqrt 5 -2;-2} \right) \cup \left( {-2;3\sqrt 5 -2} \right)\)  решения системы уравнений  находятся вне окружности.

Ответ:  \(\left( {-3\sqrt 5 -2;-2} \right) \cup \left( {-2;3\sqrt 5 -2} \right).\)