Линейные неравенства и приводимые к ним неравенства с параметрами. Задача 20А

20А. Решите неравенство при всех значениях параметра а: \(4\,x\,{a^2}-(17x + 4)\,a + 4x + 1 \geqslant 0.\)

Ответ

ОТВЕТ: нет решений при \(a = 4;\) \(x \in R\) при \(a = 0,25;\) \(x \geqslant \frac{1}{{a-4}}\) при \(a \in \left( {-\infty ;0,25} \right) \cup \left( {4;\infty } \right);\) \(x \leqslant \frac{1}{{a-4}}\) при \(a \in \left( {0,25;4} \right).\)

Решение

\(4x{a^2}-\left( {17x + 4} \right)a + 4x + 1 \ge 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,4{a^2}x-17ax + 4x \ge 4a-1\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left( {4{a^2}-17a + 4} \right)x \ge 4a-1.\)

\(4{a^2}-17a + 4 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 4,\,}\\{a = \frac{1}{4}.}\end{array}} \right.\)

Если \(a = 4\), то неравенство примет вид \(0 \cdot x \ge 15\), в этом случае решений нет.

Если \(a = \frac{1}{4}\), то \(0 \cdot x \ge 0,\) в этом случае решение \(x\, \in \,R.\)

Если \(4{a^2}-17a + 4 > 0\), то есть \(a\, \in \,\left( {-\infty ;\frac{1}{4}} \right) \cup \left( {4;\infty } \right)\), то:

\(x \ge \frac{{4a-1}}{{4{a^2}-17a + 4}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x \ge \frac{{4a-1}}{{\left( {4a-1} \right)\left( {a-4} \right)}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x \ge \frac{1}{{a-4}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x \in \left[ {\frac{1}{{a-4}};\,\infty } \right).\)

Если \(4{a^2}-17a + 4 < 0\), то есть \(a\, \in \,\left( {\frac{1}{4};4} \right)\), то:

\(x \le \frac{{4a-1}}{{4{a^2}-17a + 4}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x \le \frac{{4a-1}}{{\left( {4a-1} \right)\left( {a-4} \right)}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x \le \frac{1}{{a-4}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x \in \left( {-\infty ;\,\frac{1}{{a-4}}} \right].\)