21В. При каких значениях параметра a система уравнений  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{x}-\frac{2}{y} = 4a,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\frac{2}{x}-\frac{6}{y} = 3 + 4a}\end{array}} \right.\)  имеет хотя бы одно решение?

Ответ

ОТВЕТ:  \(\left( {-\infty ;\,\frac{3}{8}} \right) \cup \left( {\frac{3}{8};\,\frac{3}{4}} \right) \cup \left( {\frac{3}{4};\,\infty } \right).\)

Решение

Выясним, при каких значениях параметра  a  система уравнений не имеет решений.

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{x}-\frac{2}{y} = 4a,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\frac{2}{x}-\frac{6}{y} = 3 + 4a}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{2}{x}-\frac{4}{y} = 8a,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\frac{2}{x}-\frac{6}{y} = 3 + 4a.}\end{array}} \right.\)

Вычтем из первого уравнения второе. Тогда:  \(\frac{2}{y} = 4a-3.\)

Если  \(4a-3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = \frac{3}{4},\)  то  уравнение  \(\frac{2}{y} = 4a-3\)  не имеет решений, значит система не имеет решений.

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{x}-\frac{2}{y} = 4a,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\frac{2}{x}-\frac{6}{y} = 3 + 4a}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{3}{x}-\frac{6}{y} = 12a,\,\;\,\,\,}\\{\frac{2}{x}-\frac{6}{y} = 3 + 4a.}\end{array}} \right.\)

Вычтем из первого уравнения второе. Тогда:  \(\frac{1}{x} = 8a-3.\)

Если  \(8a-3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = \frac{3}{8},\)  то  уравнение  \(\frac{1}{x} = 8a-3\)  не имеет решений, значит система не имеет решений.

Таким образом, система уравнений имеет хотя бы одно решение при  \(a \in \left( {-\infty ;\,\frac{3}{8}} \right) \cup \left( {\frac{3}{8};\,\frac{3}{4}} \right) \cup \left( {\frac{3}{4};\,\infty } \right).\)

Ответ:  \(\left( {-\infty ;\,\frac{3}{8}} \right) \cup \left( {\frac{3}{8};\,\frac{3}{4}} \right) \cup \left( {\frac{3}{4};\,\infty } \right).\)