21В. При каких значениях параметра a система уравнений \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{x}-\frac{2}{y} = 4a,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\frac{2}{x}-\frac{6}{y} = 3 + 4a}\end{array}} \right.\) имеет хотя бы одно решение?
ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;\,\frac{3}{8}} \right) \cup \left( {\frac{3}{8};\,\frac{3}{4}} \right) \cup \left( {\frac{3}{4};\,\infty } \right).\)
Выясним, при каких значениях параметра a система уравнений не имеет решений. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{x}-\frac{2}{y} = 4a,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\frac{2}{x}-\frac{6}{y} = 3 + 4a}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{2}{x}-\frac{4}{y} = 8a,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\frac{2}{x}-\frac{6}{y} = 3 + 4a.}\end{array}} \right.\) Вычтем из первого уравнения второе. Тогда: \(\frac{2}{y} = 4a-3.\) Если \(4a-3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = \frac{3}{4},\) то уравнение \(\frac{2}{y} = 4a-3\) не имеет решений, значит система не имеет решений. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{x}-\frac{2}{y} = 4a,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\frac{2}{x}-\frac{6}{y} = 3 + 4a}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{3}{x}-\frac{6}{y} = 12a,\,\;\,\,\,}\\{\frac{2}{x}-\frac{6}{y} = 3 + 4a.}\end{array}} \right.\) Вычтем из первого уравнения второе. Тогда: \(\frac{1}{x} = 8a-3.\) Если \(8a-3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = \frac{3}{8},\) то уравнение \(\frac{1}{x} = 8a-3\) не имеет решений, значит система не имеет решений. Таким образом, система уравнений имеет хотя бы одно решение при \(a \in \left( {-\infty ;\,\frac{3}{8}} \right) \cup \left( {\frac{3}{8};\,\frac{3}{4}} \right) \cup \left( {\frac{3}{4};\,\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {-\infty ;\,\frac{3}{8}} \right) \cup \left( {\frac{3}{8};\,\frac{3}{4}} \right) \cup \left( {\frac{3}{4};\,\infty } \right).\)