Линейные неравенства и приводимые к ним неравенства с параметрами. Задача 21А

21А. Решите неравенство при всех значениях параметра а: \(5\,x\,{a^2}-(26x + 1)\,a + 5x + 5 \leqslant 0.\)

Ответ

ОТВЕТ: нет решений при \(a = 0,2;\) \(x \in R\) при \(a = 5;\) \(x \geqslant \frac{1}{{5a-1}}\) при \(a \in \left( {0,2;\,\,5} \right);\) \(x \leqslant \frac{1}{{5a-1}}\) при \(a \in \left( {-\infty ;0,2} \right) \cup \left( {5;\infty } \right).\)

Решение

\(5x{a^2}-\left( {26x + 1} \right)a + 5x + 5 \le 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,5{a^2}x-26ax + 5x \le a-5\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x\left( {5{a^2}-26a + 5} \right) \le a-5.\)

\(5{a^2}-26a + 5 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 5,}\\{a = \frac{1}{5}.}\end{array}} \right.\)

Если \(a = 5\), то \(0 \cdot x \le 0,\) в этом случае решение \(x\, \in \,R.\)

Если \(a = \frac{1}{5}\), то \(0 \cdot x \le -\frac{{24}}{5}\), в этом случае решений нет.

Если \(5{a^2}-26a + 5 > 0\), то есть \(a\, \in \,\left( {-\infty ;\frac{1}{5}} \right) \cup \left( {5;\infty } \right)\), то:

\(x \le \frac{{a-5}}{{5{a^2}-26a + 5}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x \le \frac{{a-5}}{{\left( {a-5} \right)\left( {5a-1} \right)}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x \le \frac{1}{{5a-1}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x \in \left( {-\infty ;\frac{1}{{5a-1}}} \right].\)

Если \(5{a^2}-26a + 5 < 0\), то есть \(a\, \in \,\left( {\frac{1}{5};5} \right)\), то:

\(x \ge \frac{{a-5}}{{5{a^2}-26a + 5}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x \ge \frac{{a-5}}{{\left( {a-5} \right)\left( {5a-1} \right)}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x \ge \frac{1}{{5a-1}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x \in \left[ {\frac{1}{{5a-1}};\,\infty } \right).\)