22В. При каких значениях параметра a система уравнений  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 3a,\,\,\,\,}\\{\frac{4}{x} + \frac{5}{y} = 3-a}\end{array}} \right.\)  имеет хотя бы одно решение?

Ответ

ОТВЕТ:  \(\left( {-\infty ;\,\frac{3}{{16}}} \right) \cup \left( {\frac{3}{{16}};\,\frac{3}{{13}}} \right) \cup \left( {\frac{3}{{13}};\,\infty } \right).\)

Решение

Выясним, при каких значениях параметра  a  система уравнений не имеет решений.

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 3a,\,\,\,\,}\\{\frac{4}{x} + \frac{5}{y} = 3-a}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{4}{x} + \frac{4}{y} = 12a,\,\,}\\{\frac{4}{x} + \frac{5}{y} = 3-a.}\end{array}} \right.\)

Вычтем из второго уравнения первое. Тогда:  \(\frac{1}{y} = 3-13a.\)

Если  \(3-13a = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = \frac{3}{{13}},\)  то  уравнение  \(\frac{1}{y} = 3-13a\)  не имеет решений, значит система не имеет решений.

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 3a,\,\,\,\,}\\{\frac{4}{x} + \frac{5}{y} = 3-a}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{5}{x} + \frac{5}{y} = 15a,\,\,}\\{\frac{4}{x} + \frac{5}{y} = 3-a.}\end{array}} \right.\)

Вычтем из первого уравнения второе. Тогда:  \(\frac{1}{x} = 16a-3.\)

Если  \(16a-3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = \frac{3}{{16}},\)  то  уравнение  \(\frac{1}{x} = 16a-3\)  не имеет решений, значит система не имеет решений.

Таким образом, система уравнений имеет хотя бы одно решение при  \(a \in \left( {-\infty ;\,\frac{3}{{16}}} \right) \cup \left( {\frac{3}{{16}};\,\frac{3}{{13}}} \right) \cup \left( {\frac{3}{{13}};\,\infty } \right).\)

Ответ:  \(\left( {-\infty ;\,\frac{3}{{16}}} \right) \cup \left( {\frac{3}{{16}};\,\frac{3}{{13}}} \right) \cup \left( {\frac{3}{{13}};\,\infty } \right).\)