22В. При каких значениях параметра a система уравнений  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 3a,\,\,\,\,}\\{\dfrac{4}{x} + \dfrac{5}{y} = 3-a}\end{array}} \right.\)  имеет хотя бы одно решение?

Ответ

ОТВЕТ:  \(\left( {-\infty ;\,\dfrac{3}{{16}}} \right) \cup \left( {\dfrac{3}{{16}};\,\dfrac{3}{{13}}} \right) \cup \left( {\dfrac{3}{{13}};\,\infty } \right).\)

Решение

Выясним, при каких значениях параметра  a  система уравнений не имеет решений.

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 3a,\,\,\,\,}\\{\dfrac{4}{x} + \dfrac{5}{y} = 3-a}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{4}{x} + \dfrac{4}{y} = 12a,\,\,}\\{\dfrac{4}{x} + \dfrac{5}{y} = 3-a.}\end{array}} \right.\)

Вычтем из второго уравнения первое. Тогда:  \(\dfrac{1}{y} = 3-13a.\)

Если  \(3-13a = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = \dfrac{3}{{13}},\)  то  уравнение  \(\dfrac{1}{y} = 3-13a\)  не имеет решений, значит система не имеет решений.

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 3a,\,\,\,\,}\\{\dfrac{4}{x} + \dfrac{5}{y} = 3-a}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{5}{x} + \dfrac{5}{y} = 15a,\,\,}\\{\dfrac{4}{x} + \dfrac{5}{y} = 3-a.}\end{array}} \right.\)

Вычтем из первого уравнения второе. Тогда:  \(\dfrac{1}{x} = 16a-3.\)

Если  \(16a-3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = \dfrac{3}{{16}},\)  то  уравнение  \(\dfrac{1}{x} = 16a-3\)  не имеет решений, значит система не имеет решений.

Таким образом, система уравнений имеет хотя бы одно решение при  \(a \in \left( {-\infty ;\,\dfrac{3}{{16}}} \right) \cup \left( {\dfrac{3}{{16}};\,\dfrac{3}{{13}}} \right) \cup \left( {\dfrac{3}{{13}};\,\infty } \right).\)

Ответ:  \(\left( {-\infty ;\,\dfrac{3}{{16}}} \right) \cup \left( {\dfrac{3}{{16}};\,\dfrac{3}{{13}}} \right) \cup \left( {\dfrac{3}{{13}};\,\infty } \right).\)