22В. При каких значениях параметра a система уравнений \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 3a,\,\,\,\,}\\{\frac{4}{x} + \frac{5}{y} = 3-a}\end{array}} \right.\) имеет хотя бы одно решение?
ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;\,\frac{3}{{16}}} \right) \cup \left( {\frac{3}{{16}};\,\frac{3}{{13}}} \right) \cup \left( {\frac{3}{{13}};\,\infty } \right).\)
Выясним, при каких значениях параметра a система уравнений не имеет решений. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 3a,\,\,\,\,}\\{\frac{4}{x} + \frac{5}{y} = 3-a}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{4}{x} + \frac{4}{y} = 12a,\,\,}\\{\frac{4}{x} + \frac{5}{y} = 3-a.}\end{array}} \right.\) Вычтем из второго уравнения первое. Тогда: \(\frac{1}{y} = 3-13a.\) Если \(3-13a = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = \frac{3}{{13}},\) то уравнение \(\frac{1}{y} = 3-13a\) не имеет решений, значит система не имеет решений. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 3a,\,\,\,\,}\\{\frac{4}{x} + \frac{5}{y} = 3-a}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{5}{x} + \frac{5}{y} = 15a,\,\,}\\{\frac{4}{x} + \frac{5}{y} = 3-a.}\end{array}} \right.\) Вычтем из первого уравнения второе. Тогда: \(\frac{1}{x} = 16a-3.\) Если \(16a-3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = \frac{3}{{16}},\) то уравнение \(\frac{1}{x} = 16a-3\) не имеет решений, значит система не имеет решений. Таким образом, система уравнений имеет хотя бы одно решение при \(a \in \left( {-\infty ;\,\frac{3}{{16}}} \right) \cup \left( {\frac{3}{{16}};\,\frac{3}{{13}}} \right) \cup \left( {\frac{3}{{13}};\,\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {-\infty ;\,\frac{3}{{16}}} \right) \cup \left( {\frac{3}{{16}};\,\frac{3}{{13}}} \right) \cup \left( {\frac{3}{{13}};\,\infty } \right).\)