Линейные неравенства и приводимые к ним неравенства с параметрами. Задача 22А

22А. Решите неравенство при всех значениях параметра а: \(\dfrac{{a\,x}}{{a-2}}-\dfrac{{x-1}}{3} < \dfrac{{2x + 3}}{4}.\)

Ответ

ОТВЕТ: нет решений при \(a = 2\); \(x \in R\) при \(a = -10;\) \(x > \dfrac{{5\left( {a-2} \right)}}{{2\left( {a + 10} \right)}}\) при \(a \in \left( {-10;2} \right);\) \(x < \dfrac{{5\left( {a-2} \right)}}{{2\left( {a + 10} \right)}}\) при \(a \in \left( {-\infty ;-10} \right) \cup \left( {2;\infty } \right).\)

Решение

Если \(a = 2\), то неравенство теряет смысл, а значит, и не имеет решений.

\(\dfrac{{a\,x}}{{a-2}}-\dfrac{{x-1}}{3} < \dfrac{{2x + 3}}{4}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{12ax-4\left( {a-2} \right)\left( {x-1} \right)-3\left( {a-2} \right)\left( {2x + 3} \right)}}{{12\left( {a-2} \right)}} < 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{12ax-4ax + 4a + 8x-8-6ax-9a + 12x + 18}}{{12\left( {a-2} \right)}} < 0\left| { \cdot 12} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{2ax + 20x + 10-5a}}{{a-2}} < 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{\left( {2a + 20} \right)x}}{{a-2}} < \dfrac{{5\left( {a-2} \right)}}{{a-2}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\dfrac{{2a + 20}}{{a-2}} \cdot x < 5.\)

Если \(a = -10\), то неравенство примет вид \(0 \cdot x < 5,\) в этом случае решение \(x\, \in \,R.\)

Если \(\dfrac{{2a + 20}}{{a-2}} > 0\), то есть \(\left( {-\infty ;-10} \right) \cup \left( {2;\infty } \right)\), то:

\(x < \dfrac{{5\left( {a-2} \right)}}{{2\left( {a + 10} \right)}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x \in \left( {-\infty ;\,\dfrac{{5\left( {a-2} \right)}}{{2\left( {a + 10} \right)}}} \right).\)

Если \(\dfrac{{2a + 20}}{{a-2}} < 0\), то есть \(\left( {-10;2} \right)\), то:

\(x > \dfrac{{5\left( {a-2} \right)}}{{2\left( {a + 10} \right)}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x \in \left( {\dfrac{{5\left( {a-2} \right)}}{{2\left( {a + 10} \right)}};\,\infty } \right).\)