24В. Найдите все значения параметра a, при которых каждая из систем уравнений   \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x-5y} \right)}^{-1}} = -\frac{1}{8},}\\{3x + y = 3a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\)   и   \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{7x-3y = 3a,}\\{\frac{1}{{x-3y}} = -\frac{1}{4}}\end{array}} \right.\)   имеет единственное решение и эти решения совпадают.

Ответ

ОТВЕТ:  \(\frac{8}{3}.\)

Решение

Решим первую систему уравнений:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x-5y} \right)}^{-1}} = -\frac{1}{8},}\\{3x + y = 3a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-5y = -8,}\\{3x + y = 3a\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 5y-8,\,\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{-24 + 15y + y = 3a}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 5y-8,\,}\\{y = \frac{{3a + 24}}{{16}}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{15a + 120}}{{16}}-8,\,\,\,}\\{y = \frac{{3a + 24}}{{16}}\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{15a-8}}{{16}},\,}\\{y = \frac{{3a + 24}}{{16}}.}\end{array}} \right.\)

Решим вторую систему уравнений:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{7x-3y = 3a,}\\{\frac{1}{{x-3y}} = -\frac{1}{4}\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{7x-3y = 3a,}\\{x-3y = -4\;\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{21y-28-3y = 3a,}\\{x = 3y-4\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = \frac{{3a + 28}}{{18}},\;\;\,}\\{x = \,\frac{{9a + 84}}{{18}}-4}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = \frac{{3a + 28}}{{18}},}\\{x = \frac{{9a + 12}}{{18}}.\;}\end{array}} \right.\)

Найдём, при каком значении параметра  a  решения систем совпадают:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{15a-8}}{{16}} = \frac{{9a + 12}}{{18}},}\\{\frac{{3a + 24}}{{16}} = \frac{{3a + 28}}{{18}}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{135a-72 = 72a + 96,\;\;}\\{27a + 216 = 24a + 224}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{63a = 168,}\\{3a = 8\;\;\;\;\;\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = \frac{8}{3}.\)

Ответ:  \(\frac{8}{3}.\)