25В. Числа a, b и с таковы, что система уравнений  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a\,x-b\,y = 2a-b,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\left( {c + 1} \right)x + c\,y = 10-a + 3b}\end{array}} \right.\)  имеет бесконечно много решений, причем \(x = 1,\,\,\,y = 3\)  есть одно из них. Найдите a, b и с.

Ответ

ОТВЕТ:  \(a\,\, = 0,\;\;\;\;b = 0,\,\;\;\;\,c = \frac{9}{4};\;\;\;\;a\,\, = 2,\;\;\;\;b = -1,\,\;\;\;\,c = 1.\)

Решение

Так как  \(x = 1,\;\;\;\;y = 3\)  является одним из решений исходной системы, то эти значения должны удовлетворять системе уравнений:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a\,-3b\, = 2a-b,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{c + 1 + 3c = 10-a + 3b}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a\,\, = -2b,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\;\;\;\;\,\;}\\{a + 4c-3b-9 = 0.}\end{array}} \right.\)

Исходная система будет иметь бесконечное множество решений, если:  \(\frac{a}{{c + 1}} = \frac{{-b}}{c} = \frac{{2a-b}}{{10-a + 3b}}.\)

Так как  \(a = -2b,\)  то  \(\frac{{-2b}}{{c + 1}} = \frac{{-b}}{c} = \frac{{-5b}}{{10 + 5b}}.\)

Пусть  \(b = 0.\)  Тогда: 

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{a\,\, = -2b,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\;\;\,\,\,\,\;\,\;}\\{a + 4c-3b-9 = 0}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = 0,\;\;\;\;\;\;}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{a\,\, = 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{4c-9 = 0}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = 0,\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{a\,\, = 0,}\\{c = \frac{9}{4}.}\end{array}}\end{array}} \right.\)

Из равенства  \(\frac{{-2b}}{{c + 1}} = \frac{{-b}}{c}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2c = c + 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;c = 1.\)

Если   \(c = 1\), то:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{c = 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{a\,\, = -2b,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\;\;\;\,\;}\\{a + 4c-3b-9 = 0}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{c = 1,\;\;\;\;\;}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{a\,\, = -2b,}\\{-5b = 5\;\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{c = 1,\;\;\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{a\,\, = 2,\,\;}\\{b = -1.}\end{array}}\end{array}} \right.\)

Таким образом, при  \(a\,\, = 0,\;\;\;\;b = 0,\,\;\;\;\,c = \frac{9}{4}\)  и  \(a\,\, = 2,\;\;\;\;b = -1,\,\;\;\;\,c = 1\)  система уравнений имеет бесконечно много решений.

Ответ:  \(a\,\, = 0,\;\;\;\;b = 0,\,\;\;\;\,c = \frac{9}{4};\;\;\;\;a\,\, = 2,\;\;\;\;b = -1,\,\;\;\;\,c = 1.\)