26В. При каких значениях c и d система уравнений \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {c-2} \right)}^2}x + \left( {c + 2} \right)y = c-6,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\left( {d + 3} \right)x + \left( {d-1} \right)y = c-2d + 4}\end{array}} \right.\) имеет единственное решение \(x = -1,\,\,\,\,y = 2\)?
Ответ
ОТВЕТ: \(c = -1,\,\,\,\;\,d = \frac{8}{3}.\)
Решение
Так как \(x = -1,\;\;\;\;y = 2\) является решением исходной системы, то эти значения должны удовлетворять системе уравнений:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-{{\left( {c-2} \right)}^2} + 2\left( {c + 2} \right) = c-6,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{-\left( {d + 3} \right) + 2\left( {d-1} \right) = c-2d + 4}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-{c^2} + 4c-4 + 2c + 4-c + 6 = 0,}\\{-d-3 + 2d-2-c + 2d-4 = 0\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{c^2}-5c-6 = 0,}\\{c = 3d-9\;\;\;\;\;\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{c = 6,}\\{d = 5}\end{array}\;\,} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{c = -1,}\\{d = \frac{8}{3}.}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)
Линейная система имеет единственное решение, если: \(\frac{{{{\left( {c-2} \right)}^2}}}{{d + 3}} \ne \frac{{c + 2}}{{d-1}}.\)
Если \(c = 6,\;\;\;\;d = 5,\) то \(\frac{{{{\left( {6-2} \right)}^2}}}{{5 + 3}} = \frac{{6 + 2}}{{5-1}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{16}}{8} = \frac{8}{4}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2 = 2,\) значит пара \(c = 6,\;\;\;\;d = 5\) не подходит.
Если \(c = -1,\;\;\;\;d = \frac{8}{3},\) то \(\frac{{{{\left( {-1-2} \right)}^2}}}{{\frac{8}{3} + 3}} \ne \frac{{-1 + 2}}{{\frac{8}{3}-1}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{9}{{\frac{{17}}{3}}} \ne \frac{1}{{\frac{5}{3}}},\) значит пара \(c = -1,\;\;\;\;d = \frac{8}{3}\) подходит.
Таким образом, при \(c = -1,\,\,\,\;\,d = \frac{8}{3}\) система уравнений имеет единственное решение.
Ответ: \(c = -1,\,\,\,\;\,d = \frac{8}{3}.\)