27В. При каких значениях параметров a и b системы уравнений  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-3y = {b^2}-2,}\\{2x + y = 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\)  и  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2\,x + 4\,b\,y = 3\,a + 2,}\\{x + 2\,y = 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\)  являются равносильными?

Ответ

ОТВЕТ:  \(a = -\frac{2}{3},\,\,\,\,b = -1.\)

Решение

Так как в первой системе  \(\frac{1}{2} \ne \frac{{-3}}{1},\)  то она имеет единственное решение. Для того чтобы вторая система имела единственное решение, необходимо, чтобы выполнялось следующее условие:  \(\frac{2}{1} \ne \frac{{4b}}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;b \ne 1.\)

Рассмотрим первую систему:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-3y = {b^2}-2,}\\{2x + y = 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-15 + 6x = {b^2}-2,}\\{y = 5-2x\,\,\,\,\,\;\;\;\;\;\;\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{{b^2} + 13}}{7},}\\{y = 5-2x\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{{b^2} + 13}}{7},\;\;\;\;\;\;\,}\\{y = 5-\frac{{2{b^2} + 26}}{7}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{{b^2} + 13}}{7},}\\{y = \frac{{9-2{b^2}}}{7}.}\end{array}} \right.\)

Рассмотрим вторую систему:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2\,x + 4\,b\,y = 3\,a + 2,}\\{x + 2\,y = 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{8-4y + 4\,b\,y = 3\,a + 2,}\\{x = 4-2y\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\;\;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y\left( {4\,b\,-4} \right) = 3\,a-6,}\\{x = 4-2y\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\;\;\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = \frac{{3\,a-6}}{{4\,b\,-4}},\;\;\;\;\;}\\{x = 4-\frac{{6\,a-12}}{{4\,b\,-4}}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = \frac{{3\,a-6}}{{4\,b\,-4}},\;\,\;\;\;\;\,\;}\\{x = \frac{{16b-6\,a-4}}{{4\,b\,-4}}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = \frac{{3\,a-6}}{{4\,b\,-4}},\;\,\;\;\;\,\;}\\{x = \frac{{8b-3\,a-2}}{{2\,b\,-2}}.}\end{array}} \right.\)

Для того чтобы системы были равносильными, необходимо, чтобы:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{b^2} + 13}}{7} = \frac{{8b-3\,a-2}}{{2\,b\,-2}},}\\{\frac{{9-2{b^2}}}{7} = \frac{{3\,a-6}}{{4\,b\,-4}}\;\;\;\;\,\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{b^3}-2{b^2} + 26b-26 = 56b-21a-14,}\\{21a = -8{b^3} + 8{b^2} + 36b-36 + 42\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{b^3}-2{b^2} + 26b-26 = 56b + 8{b^3}-8{b^2}-36b-6-14,}\\{21a = -8{b^3} + 8{b^2} + 36b + 6\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{6{b^3}-6{b^2}-6b + 6 = 0,\;\;\;\,\,}\\{a = \frac{{-8{b^3} + 8{b^2} + 36b + 6}}{{21}}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{b^2}\left( {b-1} \right)-\left( {b-1} \right) = 0,\;\;\;\,\,}\\{a = \frac{{-8{b^3} + 8{b^2} + 36b + 6}}{{21}}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {b-1} \right)}^2}\left( {b + 1} \right) = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{a = \frac{{-8{b^3} + 8{b^2} + 36b + 6}}{{21}}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = 1,\;\,}\\{b = -1}\end{array}\;\,\;\,\,} \right.}\\{a = \frac{{-8{b^3} + 8{b^2} + 36b + 6}}{{21}}.}\end{array}} \right.\)

Так как  \(b \ne 1,\)  то система примет вид:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = -1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{a = \frac{{-8{b^3} + 8{b^2} + 36b + 6}}{{21}}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = -1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\,}\\{a = \frac{{8 + 8-36 + 6}}{{21}}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = -1,\;\,}\\{a = -\frac{2}{3}.}\end{array}} \right.\)

Ответ:  \(a = -\frac{2}{3},\,\,\,\,b = -1.\)