Пусть \({2^{1 + {y^2}}} = t,\) где \(t \ge 2\) и \(\sin x = z,\) где \(z \in \left[ {-1;1} \right].\) Тогда исходная система уравнений примет вид:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{z-4 = 3a-t,\;}\\{2t-3 = a + 3z}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = 3a-t + 4,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{2t-3 = a + 9a-3t + 12}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = 3a-t + 4,}\\{5t = 10a + 15\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = 3a-2a-3 + 4,}\\{t = 2a + 3\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = a + 1,\;\;}\\{t = 2a + 3.}\end{array}} \right.\)
Так как \(t \ge 2,\;\;\;\;z \in \left[ {-1;1} \right],\) то:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-1 \le a + 1 \le 1,}\\{2a + 3 \ge 2\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-2 \le a \le 0,}\\{a \ge -0,5\;\;\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left[ {-0,5;0} \right].\)
Ответ: \(\left[ {-0,5;\,0} \right].\)