29В. При каких значениях параметра a система уравнений  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{6 \cdot {2^{{x^2}}} + 2 = 4a-\sin y,}\\{5\sin y + 10 = a + {2^{3 + {x^2}}}}\end{array}} \right.\)  имеет решение?

Ответ

ОТВЕТ:  \(\left[ {2;3} \right].\)

Решение

Пусть  \({2^{{x^2}}} = t,\)  где  \(t \ge 1\)  и  \(\sin y = z,\)  где  \(z \in \left[ {-1;1} \right].\)  Тогда исходная система уравнений примет вид:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{6t + 2 = 4a-z,}\\{5z + 10 = a + 8t}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = 4a-6t-2,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{20a-30t-10 + 10 = a + 8t}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = 4a-6t-2,}\\{19a = 38t\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = a-2,}\\{t = \frac{a}{2}.\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\)

Так как  \(t \ge 1,\;\;\;\;z \in \left[ {-1;1} \right],\)  то:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-1 \le a-2 \le 1,}\\{\frac{a}{2} \ge 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 \le a \le 3,}\\{a \ge 2\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left[ {2;3} \right].\)

Ответ:  \(\left[ {2;3} \right].\)