30В. При каких значениях параметра a система уравнений  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{12{{\cos }^2}x + 11{{\cos }^2}y + 33a = 31,}\\{33{{\cos }^2}x + 4{{\cos }^2}y + 151 = 198a}\end{array}} \right.\)  имеет решение?

Ответ

ОТВЕТ:  \(\left[ {\frac{{17}}{{22}};\,\frac{9}{{11}}} \right].\)

Решение

Пусть  \({\cos ^2}x = t\)  и  \({\cos ^2}y = z,\)  где  \(t,\;\;z \in \left[ {0;1} \right].\)  Тогда исходная система уравнений примет вид:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{12t + 11z + 33a = 31,\;\,}\\{33t + 4z + 151 = 198a}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = \frac{{31-12t-33a}}{{11}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{33t + \frac{{124-48t-132a}}{{11}} + 151 = 198a}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = \frac{{31-12t-33a}}{{11}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{363t + 124-48t-132a + 1661 = 2178a}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = \frac{{31-12t-33a}}{{11}},\;\;\;}\\{315t = 2310a-1785}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = \frac{{31-88a + 68-33a}}{{11}},}\\{t = \frac{{22a-17}}{3}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = 9-11a,\;\;\,}\\{t = \frac{{22a-17}}{3}.}\end{array}} \right.\)

Так как  \(t,\;\;z \in \left[ {0;1} \right],\)  то:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le \frac{{22a-17}}{3} \le 1,}\\{0 \le 9-11a \le 1\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{17 \le 22a \le 20,\;}\\{-9 \le -11a \le -8}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{17}}{{22}} \le a \le \frac{{10}}{{11}},}\\{\frac{{16}}{{22}} \le a \le \frac{9}{{11}}\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left[ {\frac{{17}}{{22}};\,\frac{9}{{11}}} \right].\)

Ответ:  \(\left[ {\frac{{17}}{{22}};\,\frac{9}{{11}}} \right].\)