30А. При каких значениях параметра a система уравнений \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {2{a^2}-11a} \right)x-25y = 2{a^2}-13a-30,} \\ {8x-5y = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \end{array}} \right.\) имеет не менее семи решений?
Решение
Система линейных уравнений либо не имеет решений, либо имеет 1 решение, либо решений бесконечное множество.
Не менее семи решений будет только в случае бесконечного множества решений. Для этого должны выполняться условия:
\(\frac{{2{a^2}-11a}}{8} = \frac{{-25}}{{-5}} = \frac{{2{a^2}-13a-30}}{3}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{2{a^2}-11a}}{8} = 5,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\frac{{2{a^2}-13a-30}}{3} = 5}\end{array}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow } \right.\)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{a^2}-11a-40 = 0,}\\{2{a^2}-13a-45 = 0\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = -2,5,}\\{a = 8\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = -2,5,}\\{a = 9\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,a = -2,5.\)
Таким образом, система будет иметь не менее семи решений при \(a = -2,5.\)
Ответ: \(-2,5.\)