31В. При каких значениях параметра a система уравнений \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{21\sin^2}x\ + {8\sin^2}y\ + 59 = 6a,}\\{{24\sin^2}x\ + {7\sin^2}y\ + 91 = 9a}\end{array}} \right.\) имеет решение?
ОТВЕТ: \(\left[ {10,5;\,11} \right].\)
Пусть \({\sin ^2}x = t\) и \({\sin ^2}y = z,\) где \(t,\;\;z \in \left[ {0;1} \right].\) Тогда исходная система уравнений примет вид: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{21t + 8z + 59 = 6a,}\\{24t + 7z + 91 = 9a}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = \frac{{6a-21t-59}}{8},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{24t + \frac{{42a-147t-413}}{8} + 91 = 9a}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = \frac{{6a-21t-59}}{8},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{192t + 42a-147t-413 + 728 = 72a}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = \frac{{6a-21t-59}}{8},}\\{45t = 30a-315\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = \frac{{6a-14a + 147-59}}{8},}\\{t = \frac{{2a-21}}{3}\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = 11-a,\;\;\,}\\{t = \frac{{2a-21}}{3}.}\end{array}} \right.\) Так как \(t,\;\;z \in \left[ {0;1} \right],\) то: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le \frac{{2a-21}}{3} \le 1,}\\{0 \le 11-a \le 1\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{21 \le 2a \le 24,\;\;\;}\\{-11 \le -a \le -10}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{10,5 \le a \le 12,}\\{10 \le a \le 11\,\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left[ {10,5;\,11} \right].\) Ответ: \(\left[ {10,5;\,11} \right].\)