31А. При каких значениях параметра a система уравнений \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {9{a^2}-49a} \right)x + 36y = 9{a^2}-58a + 44,} \\ {9y-5x = 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \end{array}} \right.\) имеет не менее четырех решений?
Решение
Система линейных уравнений либо не имеет решений, либо имеет 1 решение, либо решений бесконечное множество.
Не менее четырех решений будет только в случае бесконечного множества решений. Для этого должны выполняться условия:
\(\dfrac{{9{a^2}-49a}}{{-5}} = \dfrac{{36}}{9} = \dfrac{{9{a^2}-58a + 44}}{5}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{9{a^2}-49a}}{{-5}} = 4,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\dfrac{{9{a^2}-58a + 44}}{5} = 4}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{9{a^2}-49a + 20 = 0,}\\{9{a^2}-58a + 24 = 0\,}\end{array}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,} \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \dfrac{4}{9},}\\{a = 5\,\,\,}\end{array}} \right.}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \dfrac{4}{9},}\\{a = 6\,\,\,}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,a = \dfrac{4}{9}.\)
Таким образом, система будет иметь не менее четырёх решений при \(a = \dfrac{4}{9}.\)
Ответ: \(\dfrac{4}{9}.\)