32В. При каких значениях параметра \(\alpha \in \left( {-\frac{\pi }{2};\,\frac{\pi }{2}} \right)\) система уравнений \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\sin \alpha + 2y\sin \alpha = {\rm{tg}}\alpha ,}\\{\left( {\cos \alpha + 1} \right)x + 3y = 3\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\) имеет бесконечное число решений?
ОТВЕТ: \( \pm \frac{{\rm{\pi }}}{3};\,\,\,\;\,0.\)
Для того чтобы система уравнений имела бесконечное число решений, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия: \(\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha + 1}} = \frac{{2\sin \alpha }}{3} = \frac{{{\rm{tg}}\,\alpha }}{3}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha + 1}} = \frac{{2\sin \alpha }}{3},}\\{\frac{{2\sin \alpha }}{3} = \frac{{{\rm{tg}}\,\alpha }}{3}.\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\) Рассмотрим первое уравнение полученной системы: \(\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha + 1}} = \frac{{2\sin \alpha }}{3}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin \alpha \left( {1-2\cos \alpha } \right) = 0,}\\{\cos \alpha + 1 \ne 0\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin \alpha = 0,\,}\\{\cos \alpha = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.}\\{\cos \alpha \ne -1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha = \pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\alpha = \pm \frac{\pi }{3} + \pi k\,\,}\end{array}} \right.}\\{\alpha \ne \pi + 2\pi n,\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;k,\;\;n\,\, \in Z\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha = 2\pi k,\;\;\;\;\;\;}\\{\alpha = \pm \frac{\pi }{3} + \pi k}\end{array}} \right.\;\;\;k\,\, \in Z.\) Так как \(\alpha \in \left( {-\frac{\pi }{2};\,\frac{\pi }{2}} \right),\) то: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha = 0,\;\;\;\;}\\{\alpha = \pm \frac{\pi }{3}.}\end{array}} \right.\) Подставим полученные корни во второе уравнение системы: \(\frac{{2\sin \alpha }}{3} = \frac{{{\rm{tg}}\,\alpha }}{3}.\) Если \(\alpha = 0,\) то \(\frac{{2\sin 0}}{3} = \frac{{{\rm{tg}}\,0}}{3}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;0 = 0,\) значит \(\alpha = 0\) подходит. Если \(\alpha = \frac{\pi }{3},\) то \(\frac{{2\sin \frac{\pi }{3}}}{3} = \frac{{{\rm{tg}}\,\frac{\pi }{3}}}{3}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{\sqrt 3 }}{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{3},\) значит \(\alpha = \frac{\pi }{3}\) подходит. Если \(\alpha = -\frac{\pi }{3},\) то \(\frac{{2\sin \left( {-\frac{\pi }{3}} \right)}}{3} = \frac{{{\rm{tg}}\left( {-\frac{\pi }{3}} \right)}}{3}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-\frac{{\sqrt 3 }}{3} = -\frac{{\sqrt 3 }}{3},\) значит \(\alpha = -\frac{\pi }{3}\) подходит. Таким образом, при \(\alpha = \pm \frac{\pi }{3},\;\;\;\;\alpha = 0\) исходная система уравнений имеет бесконечное множество решений. Ответ: \( \pm \frac{{\rm{\pi }}}{3};\,\,\,\;\,0.\)