32А. Решите систему уравнений при всех значениях параметра a: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + 7y = 2,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \\ {3x + y = a,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \\ {3x + 13y = {a^2} + 3a.} \end{array}} \right.\)
ОТВЕТ: \(\left( {0,25;\,0,25} \right)\) при \(a = 1;\) \(\left( {-1,36;\,0,48} \right)\) при \(a = -3,6;\) нет решений при \(a \ne -3,6,\,\,\,\,\,a \ne 1.\)
Прямые попарно не параллельны. Поэтому система будет иметь решение только в случае, если все три прямые проходят через одну точку. Рассмотрим систему из первых двух уравнений: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 7y = 2,}\\{3x + y = a\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2-7y,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{6-21y + y = a}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2-7 \cdot \frac{{6-a}}{{20}},}\\{y = \frac{{6-a}}{{20}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{7a-2}}{{20}},}\\{y = \frac{{6-a}}{{20}}.\,\,\,}\end{array}} \right.\). Исходная система уравнений будет иметь решение, если решение первых двух уравнений удовлетворяет третьему уравнению. Подставим найденные x и y в третье уравнение: \(\frac{{21a-6}}{{20}} + \frac{{78-13a}}{{20}} = {a^2} + 3a\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,2a + 18 = 5{a^2} + 15a\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{a = -\frac{{18}}{5}.}\end{array}} \right.\) Если \(a = 1\), то \(x = \frac{1}{4};\,\,\,y = \frac{1}{4};\) если \(a = -\frac{{18}}{5}\), то \(x = -1,36;\,\,\,\,y = 0,48.\) При \(a \ne 1\) и \(a \ne -\frac{{18}}{5}\) исходная система не имеет решений. ОТВЕТ: \(\left( {0,25;\,0,25} \right)\) при \(a = 1;\) \(\left( {-1,36;\,0,48} \right)\) при \(a = -3,6;\) нет решений при \(a \ne -3,6,\,\,\,\,\,a \ne 1.\)