Линейные системы уравнений и приводимые к ним системы уравнений с параметрами. Задача 33А

33А. Решите систему уравнений при всех значениях параметра a: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y = 2,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \\ {2x-y = a,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \\ {4x-y = {a^2} + 2a.} \end{array}} \right.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {1;\,1} \right)\) при \(a = 1;\) \(\left( {\frac{2}{9};\,\frac{{16}}{9}} \right)\) при \(a = -\frac{4}{3};\) нет решений при \(a \ne -\frac{4}{3},\,\,\,\,\,a \ne 1.\)

Решение

Прямые попарно не параллельны. Поэтому система будет иметь решение только в случае, если все три прямые проходят через одну точку. Рассмотрим систему из первых двух уравнений:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 2,}\\{2x-y = a}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 2-x,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{2x-2 + x = a}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 2-\frac{{a + 2}}{3},}\\{x = \frac{{a + 2}}{3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = \frac{{4-a}}{3},}\\{x = \frac{{a + 2}}{3}.}\end{array}} \right.\)

Исходная система уравнений будет иметь решение, если решение первых двух уравнений удовлетворяет третьему уравнению. Подставим найденные x и y в третье уравнение:

\(\frac{{4a + 8}}{3}-\frac{{4-a}}{3} = {a^2} + 2a\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,3{a^2} + a-4 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1,\,\,\,\,\,\,}\\{a = -\frac{4}{3}.}\end{array}} \right.\,\)

Если \(a = 1\), то \(x = 1;\,\,\,y = 1;\) если \(a = -\frac{4}{3}\), то \(x = \frac{2}{9};\,\,\,\,y = \frac{{16}}{9};\)

При \(a \ne 1\) и \(a \ne -\frac{4}{3}\) исходная система не имеет решений.