4В.  При каких значениях параметров а и b уравнение  \(\left( {a-2} \right)x + b\left( {x-2} \right) = \left( {2b-1} \right)x + \left( {2x-1} \right)a\)  имеет не менее трёх корней?

Ответ

ОТВЕТ:  \(a = -\frac{2}{3},\,\,\,\,b = -\frac{1}{3}.\)

Решение

\(\left( {a-2} \right)x + b\left( {x-2} \right) = \left( {2b-1} \right)x + \left( {2x-1} \right)a\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {a-2} \right)x + bx-\left( {2b-1} \right)x-2ax = 2b-a\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {a-2 + b-2b + 1-2a} \right)x = 2b-a\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {-a-b-1} \right)x = 2b-a.\)

Последнее уравнение будет иметь не менее трёх корней, если:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-a-b-1 = 0,}\\{2b-a = 0\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;b = -\frac{1}{3},\;\;\;\;a = -\frac{2}{3}.\)

Ответ:  \(a = -\frac{2}{3},\,\,\,\,b = -\frac{1}{3}.\)