4А. Решите уравнение при всех значениях параметра а: \({a^2}\left( {x-2} \right) = x + a-3.\)
ОТВЕТ: нет решений при \(a = -1;\) \(x \in R\) при \(a = 1;\) \(x = \frac{{2a + 3}}{{a + 1}}\) при \(a \ne \pm 1.\)
\({a^2}\left( {x-2} \right) = x + a-3\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{a^2}x-x = 2{a^2} + a-3\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\left( {{a^2}-1} \right)x = 2{a^2} + a-3.\) \({a^2}-1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = -1,}\\{a = 1.\,\,\,}\end{array}} \right.\) Если \(a = -1\), то уравнение примет вид: \(0 \cdot x = -2\), то есть оно не имеет решений. Если \(a = 1\), то уравнение примет вид: \(0 \cdot x = 0\), то есть \(x\, \in \,R.\) Если \(a \ne \pm 1\), то: \(x = \frac{{2{a^2} + a-3}}{{{a^2}-1}} = \frac{{\left( {2a + 3} \right)\left( {a-1} \right)}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {a-1} \right)}} = \frac{{2a + 3}}{{a + 1}}.\) ОТВЕТ: нет решений при \(a = -1;\) \(x \in R\) при \(a = 1;\) \(x = \frac{{2a + 3}}{{a + 1}}\) при \(a \ne \pm 1.\)