Профиль №18. Линейные уравнения, неравенства и системы уравнений с параметрами. Задача 5Вmath100admin44242024-01-08T21:34:52+03:00
5В. При каких значениях параметра а уравнение \(\left| {9x + 7a-3} \right| = \left| {4x + 3a + 4} \right|\) имеет два различных корня, среднее арифметическое которых равно \(-8\)?
Ответ
ОТВЕТ: \(\frac{{563}}{{51}}.\)
Решение
Уравнение вида \(\left| {f\left( x \right)} \right| = \left| {g\left( x \right)} \right|\) равносильно совокупности: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) = g\left( x \right),\;\,}\\{f\left( x \right) = -g\left( x \right).}\end{array}} \right.\)
\(\left| {9x + 7a-3} \right| = \left| {4x + 3a + 4} \right|\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{9x + 7a-3 = 4x + 3a + 4,\,}\\{9x + 7a-3 = -4x-3a-4}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{5x = 7-4a,\;\;\;\,\,}\\{13x = -10a-1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{7-4a}}{5},\;\;\,}\\{x = \frac{{-10a-1}}{{13}}.}\end{array}} \right.\)
Так как среднее арифметическое двух различных корней равно \(-8,\) то:
\(\frac{{7-4a}}{5} + \frac{{-10a-1}}{{13}} = -16\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;91-52a-50a-5 = -1040\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = \frac{{563}}{{51}}.\)
Ответ: \(\frac{{563}}{{51}}.\)