5В.  При каких значениях параметра а уравнение  \(\left| {9x + 7a-3} \right| = \left| {4x + 3a + 4} \right|\)  имеет два различных корня, среднее арифметическое которых равно \(-8\)?

Ответ

ОТВЕТ:  \(\frac{{563}}{{51}}.\)

Решение

Уравнение вида  \(\left| {f\left( x \right)} \right| = \left| {g\left( x \right)} \right|\)  равносильно совокупности:  \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) = g\left( x \right),\;\,}\\{f\left( x \right) = -g\left( x \right).}\end{array}} \right.\)

\(\left| {9x + 7a-3} \right| = \left| {4x + 3a + 4} \right|\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{9x + 7a-3 = 4x + 3a + 4,\,}\\{9x + 7a-3 = -4x-3a-4}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{5x = 7-4a,\;\;\;\,\,}\\{13x = -10a-1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{7-4a}}{5},\;\;\,}\\{x = \frac{{-10a-1}}{{13}}.}\end{array}} \right.\)

Так как среднее арифметическое двух различных корней равно \(-8,\)  то:

\(\frac{{7-4a}}{5} + \frac{{-10a-1}}{{13}} = -16\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;91-52a-50a-5 = -1040\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = \frac{{563}}{{51}}.\)

Ответ:  \(\frac{{563}}{{51}}.\)