5А. Решите уравнение при всех значениях параметра а:  \(\frac{{a + 2}}{{x-2}} = a-1.\)

Ответ

ОТВЕТ: нет решений при \(a = 1,\,\,\,a = -2;\) \(x = \frac{{3a}}{{a-1}}\) при \(a \ne 1,\,\,\,\,a \ne -2.\)

Решение

Запишем ОДЗ:  \(x-2 \ne 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x \ne 2.\)

Если \(a = -2\), то уравнение примет вид: \(0 = -3\), то есть оно не имеет решений.

Если \(a \ne -2\), то:

\(\frac{{a + 2}}{{x-2}} = a-1\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\left( {x-2} \right)\left( {a-1} \right) = a + 2\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {a-1} \right)x = 3a.\)

Если \(a = 1\), то последнее уравнение примет вид:  \(0 \cdot x = 3\), то есть оно не имеет решений.

Если \(a \ne -2\) и \(a \ne 1\),  то  \(x = \frac{{3a}}{{a-1}}.\)

ОТВЕТ: нет решений при \(a = 1,\,\,\,a = -2;\) \(x = \frac{{3a}}{{a-1}}\) при \(a \ne 1,\,\,\,\,a \ne -2.\)