6В.  При каких значениях параметра а уравнение  \(\left| {7x + 8a-5} \right| = \left| {9x + 7a-2} \right|\)  имеет два различных корня, среднее арифметическое которых равно 9?

Ответ

ОТВЕТ:  \(-\frac{{305}}{7}.\)

Решение

Уравнение вида  \(\left| {f\left( x \right)} \right| = \left| {g\left( x \right)} \right|\)  равносильно совокупности:  \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) = g\left( x \right),\;\,}\\{f\left( x \right) = -g\left( x \right).}\end{array}} \right.\)

\(\left| {7x + 8a-5} \right| = \left| {9x + 7a-2} \right|\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{7x + 8a-5 = 9x + 7a-2,\,}\\{7x + 8a-5 = -9x-7a + 2}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = a-3,\;\;\;\,\;\;\,\,}\\{16x = -15a + 7}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{a-3}}{2},\;\;\;\;\;\,}\\{x = \frac{{-15a + 7}}{{16}}.}\end{array}} \right.\)

Так как среднее арифметическое двух различных корней равно  \(9,\)  то:

\(\frac{{a-3}}{2} + \frac{{-15a + 7}}{{16}} = 18\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;8a-24-15a + 7 = 288\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = -\frac{{305}}{7}.\)

Ответ:  \(-\frac{{305}}{7}.\)