Профиль №18. Линейные уравнения, неравенства и системы уравнений с параметрами. Задача 6Вmath100admin44242024-01-08T21:36:50+03:00
6В. При каких значениях параметра а уравнение \(\left| {7x + 8a-5} \right| = \left| {9x + 7a-2} \right|\) имеет два различных корня, среднее арифметическое которых равно 9?
Ответ
ОТВЕТ: \(-\frac{{305}}{7}.\)
Решение
Уравнение вида \(\left| {f\left( x \right)} \right| = \left| {g\left( x \right)} \right|\) равносильно совокупности: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) = g\left( x \right),\;\,}\\{f\left( x \right) = -g\left( x \right).}\end{array}} \right.\)
\(\left| {7x + 8a-5} \right| = \left| {9x + 7a-2} \right|\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{7x + 8a-5 = 9x + 7a-2,\,}\\{7x + 8a-5 = -9x-7a + 2}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = a-3,\;\;\;\,\;\;\,\,}\\{16x = -15a + 7}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{a-3}}{2},\;\;\;\;\;\,}\\{x = \frac{{-15a + 7}}{{16}}.}\end{array}} \right.\)
Так как среднее арифметическое двух различных корней равно \(9,\) то:
\(\frac{{a-3}}{2} + \frac{{-15a + 7}}{{16}} = 18\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;8a-24-15a + 7 = 288\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = -\frac{{305}}{7}.\)
Ответ: \(-\frac{{305}}{7}.\)