6А. Решите уравнение при всех значениях параметра а:  \(\frac{{a + 3}}{{a + 2}} = \frac{2}{x}-\frac{5}{{x\left( {a + 2} \right)}}.\)

Ответ

ОТВЕТ: нет решений при \(a = -3,\,\,\,\,a = -2,\,\,\,\,a = \frac{1}{2};\) \(x = \frac{{2a-1}}{{a + 3}}\) при \(a \ne -3,\,\,\,\,\,a \ne -2,\,\,\,\,\,a \ne \frac{1}{2}.\)

Решение

Запишем ОДЗ:  \(x \ne 0.\)

Если \(a = -2\), то уравнение не имеет решений.

\(\frac{{a + 3}}{{a + 2}} = \frac{2}{x}-\frac{5}{{x\left( {a + 2} \right)}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{a + 3}}{{a + 2}} = \frac{{2a-1}}{{x\left( {a + 2} \right)}}.\)

Если \(a = -3\), то уравнение примет вид:  \(0 = \frac{7}{x}\), то есть оно не имеет решений.

Если \(a = \frac{1}{2}\), то уравнение примет вид:  \(\frac{7}{5} = 0\), то есть оно не имеет решений.

Если \(a \ne -2,\,\,\,a \ne -3\)  и  \(a \ne \frac{1}{2}\), то  \(x = \frac{{2a-1}}{{a + 3}}.\)

ОТВЕТ: нет решений при \(a = -3,\,\,\,\,a = -2,\,\,\,\,a = \frac{1}{2};\) \(x = \frac{{2a-1}}{{a + 3}}\) при \(a \ne -3,\,\,\,\,\,a \ne -2,\,\,\,\,\,a \ne \frac{1}{2}.\)