6А. Решите уравнение при всех значениях параметра а: \(\dfrac{{a + 3}}{{a + 2}} = \dfrac{2}{x}-\dfrac{5}{{x\left( {a + 2} \right)}}.\)
Ответ
ОТВЕТ: нет решений при \(a = -3,\,\,\,\,a = -2,\,\,\,\,a = \dfrac{1}{2};\) \(x = \dfrac{{2a-1}}{{a + 3}}\) при \(a \ne -3,\,\,\,\,\,a \ne -2,\,\,\,\,\,a \ne \dfrac{1}{2}.\)
Решение
Запишем ОДЗ: \(x \ne 0.\)
Если \(a = -2\), то уравнение теряет смысл, а значит, и не имеет корней.
\(\dfrac{{a + 3}}{{a + 2}} = \dfrac{2}{x}-\dfrac{5}{{x\left( {a + 2} \right)}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{a + 3}}{{a + 2}} = \dfrac{{2a-1}}{{x\left( {a + 2} \right)}}.\)
Если \(a = -3\), то уравнение примет вид: \(0 = \dfrac{7}{x}\), то есть оно не имеет решений.
Если \(a = \dfrac{1}{2}\), то уравнение примет вид: \(\dfrac{7}{5} = 0\), то есть оно не имеет решений.
Если \(a \ne -2,\,\,\,a \ne -3\) и \(a \ne \dfrac{1}{2}\), то \(x = \dfrac{{2a-1}}{{a + 3}}.\)
ОТВЕТ: нет решений при \(a = -3,\,\,\,\,a = -2,\,\,\,\,a = \dfrac{1}{2};\) \(x = \dfrac{{2a-1}}{{a + 3}}\) при \(a \ne -3,\,\,\,\,\,a \ne -2,\,\,\,\,\,a \ne \dfrac{1}{2}.\)