7В. При каких значениях параметра а уравнение \(6{\log _7}\sin x + a{\log _7}\sin x = {a^2} + 5a + 4\) имеет хотя бы один корень?
Пусть \({\log _7}\sin x = t.\) Тогда \(\sin x = {7^t}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{7^t} \le 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t \le 0.\) Исходное уравнение примет вид: \(6t + a\,t = {a^2} + 5a + 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {6 + a} \right)t = {a^2} + 5a + 4.\) Если \(a = -6,\) то \(0 \cdot t = 10\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\) Если \(a \ne -6,\) то \(t = \frac{{{a^2} + 5a + 4}}{{a + 6}}.\) Так как \(t \le 0,\) то \(\frac{{{a^2} + 5a + 4}}{{a + 6}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{\left( {a + 4} \right)\left( {a + 1} \right)}}{{a + 6}} \le 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов. Следовательно, \(a \in \left( {-\infty ;-6} \right) \cup \left[ {-4;-1} \right].\) Ответ: \(\left( {-\infty ;-6} \right) \cup \left[ {-4;-1} \right].\)