7А. Решите уравнение при всех значениях параметра а:  \(1 + \frac{1}{{a\,x}} = \frac{1}{x}-\frac{3}{a}.\)

Ответ

ОТВЕТ: нет решений при \(a = -3,\,\,\,\,a = 0,\,\,\,\,a = 1;\) \(x = \frac{{a-1}}{{a + 3}}\) при \(a \ne -3,\,\,\,\,\,a \ne 0,\,\,\,\,\,a \ne 1.\)

Решение

Если \(a = 0\), то уравнение не имеет решений. ОДЗ:  \(x \ne 0.\)

\(1 + \frac{1}{{a\,x}} = \frac{1}{x}-\frac{3}{a}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{{a\,x + 1}}{{a\,x}} = \frac{{a-3x}}{{a\,x}}.\)

Если  \(a \ne 0,\)  то:  \(\frac{{a\,x + 1}}{{a\,x}} = \frac{{a-3x}}{{a\,x}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,ax + 1 = a-3x\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left( {a + 3} \right)x = a-1.\)

Если \(a = -3\), то последнее уравнение примет вид:    \(0 \cdot x = -4,\) то есть оно не имеет решений.

Если \(a \ne -3\) и \(a \ne 0\), то \(x = \frac{{a-1}}{{a + 3}}\), но при \(a = 1\) получим \(x = 0\) не удовлетворяет ОДЗ \(x \ne 0\), то есть при \(a = 1\) решений нет.

Таким образом,  при \(a = -3\), \(a = 0\), \(a = 1\) уравнение не имеет решений, а при \(a \ne -3\), \(a \ne 0\), \(a \ne 1\)  оно имеет один корень  \(x = \frac{{a-1}}{{a + 3}}\).

ОТВЕТ: нет решений при \(a = -3,\,\,\,\,a = 0,\,\,\,\,a = 1;\) \(x = \frac{{a-1}}{{a + 3}}\) при \(a \ne -3,\,\,\,\,\,a \ne 0,\,\,\,\,\,a \ne 1.\)