7А. Решите уравнение при всех значениях параметра а: \(1 + \dfrac{1}{{a\,x}} = \dfrac{1}{x}-\dfrac{3}{a}.\)
ОТВЕТ: нет решений при \(a = -3,\,\,\,\,a = 0,\,\,\,\,a = 1;\) \(x = \dfrac{{a-1}}{{a + 3}}\) при \(a \ne -3,\,\,\,\,\,a \ne 0,\,\,\,\,\,a \ne 1.\)
Если \(a = 0\), то уравнение теряет смысл, а значит, и не имеет корней. ОДЗ: \(x \ne 0.\) \(1 + \dfrac{1}{{a\,x}} = \dfrac{1}{x}-\dfrac{3}{a}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{a\,x + 1}}{{a\,x}} = \dfrac{{a-3x}}{{a\,x}}.\) Если \(a \ne 0,\) то: \(\dfrac{{a\,x + 1}}{{a\,x}} = \dfrac{{a-3x}}{{a\,x}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,ax + 1 = a-3x\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left( {a + 3} \right)x = a-1.\) Если \(a = -3\), то последнее уравнение примет вид: \(0 \cdot x = -4,\) то есть оно не имеет решений. Если \(a \ne -3\) и \(a \ne 0\), то \(x = \dfrac{{a-1}}{{a + 3}}\), но при \(a = 1\) получим \(x = 0\) не удовлетворяет ОДЗ \(x \ne 0\), то есть при \(a = 1\) решений нет. Таким образом, при \(a = -3\), \(a = 0\), \(a = 1\) уравнение не имеет решений, а при \(a \ne -3\), \(a \ne 0\), \(a \ne 1\) оно имеет один корень \(x = \dfrac{{a-1}}{{a + 3}}\). ОТВЕТ: нет решений при \(a = -3,\,\,\,\,a = 0,\,\,\,\,a = 1;\) \(x = \dfrac{{a-1}}{{a + 3}}\) при \(a \ne -3,\,\,\,\,\,a \ne 0,\,\,\,\,\,a \ne 1.\)