8В. При каких значениях параметра а уравнение \({\log _{0,5}}\cos x + 7a = a{\log _{0,25}}\cos x + {a^2} + 12\) имеет хотя бы один корень?
\({\log _{0,5}}\cos x + 7a = a{\log _{0,25}}\cos x + {a^2} + 12\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{0,5}}\cos x + 7a = \frac{1}{2}a{\log _{0,5}}\cos x + {a^2} + 12.\) Пусть \({\log _{0,5}}\cos x = t.\) Тогда \(\cos x = {0,5^t}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{0,5^t} \le 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t \ge 0.\) Исходное уравнение примет вид: \(t + 7a = \frac{1}{2}at + {a^2} + 12\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {1-\frac{a}{2}} \right)t = {a^2}-7a + 12.\) Если \(a = 2,\) то \(0 \cdot t = 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\) Если \(a \ne 2,\) то \(t = \frac{{2\left( {{a^2}-7a + 12} \right)}}{{2-a}}.\) Так как \(t \ge 0,\) то \(\frac{{2\left( {{a^2}-7a + 12} \right)}}{{2-a}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{\left( {a-4} \right)\left( {a-3} \right)}}{{a-2}} \le 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов. Следовательно, \(a \in \left( {-\infty ;2} \right) \cup \left[ {3;4} \right].\) Ответ: \(\left( {-\infty ;2} \right) \cup \left[ {3;4} \right].\)