8А. Решите уравнение при всех значениях параметров а и b:  \(\frac{{1 + x}}{{1-x}} = \frac{a}{b}.\)

Ответ

ОТВЕТ: нет решений при  \(a = -b\)  или  \(b = 0;\)  \(x = \frac{{a-b}}{{a + b}}\) при   \(a \ne -b\,,\,\,\,\,b \ne 0.\)

Решение

Найдём ОДЗ:  \(x \ne 1.\)  При \(b = 0\) уравнение не имеет решений.

\(\frac{{1 + x}}{{1-x}} = \frac{a}{b}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,b\left( {1 + x} \right) = a\left( {1-x} \right)\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,b\,x + a\,x = a-b\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left( {a + b} \right)x = a-b.\)

Если \(a = -b\), то уравнение примет вид: \(x \cdot 0 = -2b.\)

Так как \(b \ne 0\), то \(-2b \ne 0\) и тогда уравнение не имеет решений.

Если \(a \ne -b\) и \(b \ne 0\), то  \(x = \frac{{a-b}}{{a + b}}.\)

Таким образом,  при \(a = -b\) или \(b = 0\) уравнение не имеет решений, а при \(a \ne -b\) и \(b \ne 0\) оно имеет один корень  \(x = \frac{{a-b}}{{a + b}}\).

ОТВЕТ: нет решений при  \(a = -b\)  или  \(b = 0;\)  \(x = \frac{{a-b}}{{a + b}}\) при   \(a \ne -b\,,\,\,\,\,b \ne 0.\)