9В. При каких значениях параметра а уравнение \(\left( {{2^{\sin x}}-1} \right){a^2}-\left( {3 \cdot {2^{\sin x}}-1} \right)a + {2^{\sin x + 1}} = 0\) имеет хотя бы один корень?
Пусть \({2^{\sin x}} = t.\) Так как \(-1 \le \sin x \le 1,\) то \(t \in \left[ {\frac{1}{2};2} \right].\) Тогда исходное уравнение примет вид: \(\left( {t-1} \right){a^2}-\left( {3t-1} \right)a + 2t = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{a^2}t-{a^2}-3at + a + 2t = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{a^2}-3a + 2} \right)t = {a^2}-a\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {a-1} \right)\left( {a-2} \right)t = a\left( {a-1} \right).\) Если \(a = 1,\) то \(0 \cdot t = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t \in R.\) Если \(a = 2,\) то \(0 \cdot t = 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\) Если \(a \ne 1,\;\;\;\;a \ne 2,\) то \(t = \frac{a}{{a-2}}.\) Так как \(t \in \left[ {\frac{1}{2};2} \right],\) то: \(\frac{1}{2} \le \frac{a}{{a-2}} \le 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{a}{{a-2}} \le 2,}\\{\frac{a}{{a-2}} \ge \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{a-4}}{{a-2}} \ge 0,}\\{\frac{{a + 2}}{{a-2}} \ge 0\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left( {-\infty ;2} \right) \cup \left[ {4;\infty } \right),\;\,}\\{a \in \left( {-\infty ;-2} \right] \cup \left( {2;\infty } \right).}\end{array}} \right.\) Найдём общее решение полученной системы: Следовательно, \(a \in \left( {-\infty ;-2} \right] \cup \left[ {4;\infty } \right).\) Таким образом, при \(a \in \left( {-\infty ;-2} \right] \cup \left\{ 1 \right\} \cup \left[ {4;\infty } \right)\) уравнение имеет хотя бы один корень. Ответ: \(\left( {-\infty ;-2} \right] \cup \left\{ 1 \right\} \cup \left[ {4;\infty } \right).\)