Профиль №18. Исследование дискриминанта и применение теоремы Виета. Задача 1В

ОТВЕТ:  \(\left( {-\infty ;\,-5} \right) \cup \left( {-5;0} \right) \cup \left( {0;\,3} \right) \cup \left( {3;\,4} \right).\)

\(\frac{{{x^2}-4x + a}}{{5{x^2}-6\,a\,x + {a^2}}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-4x + a = 0,\;\,\,\;\;\;\,}\\{5{x^2}-6\,a\,x + {a^2} \ne 0.}\end{array}} \right.\)

Исходное уравнение будет иметь два различных корня при условии, что дискриминант числителя больше нуля и корни знаменателя не совпадают с корнями числителя.

Так как дискриминант числителя должен быть больше нуля, то:

\({x^2}-4x + a = 0;\;\;\;\;D = 16-4a > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a < 4.\)

Найдём нули знаменателя:

\(5{x^2}-6\,a\,x + {a^2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;D = 36{a^2}-20{a^2} = 16{a^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = a,\,}\\{x = \frac{a}{5}.}\end{array}} \right.\)

Определим, при каких  a  корни знаменателя будут совпадать с корнями числителя:

Если  \(x = a,\)  то числитель примет вид:

\({a^2}-4a + a = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a\left( {a-3} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 0,}\\{a = 3.}\end{array}} \right.\)

Если  \(x = \frac{a}{5},\)  то числитель примет вид:

\(\frac{{{a^2}}}{{25}}-\frac{{4a}}{5} + a = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a\left( {a + 5} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 0,\;\;}\\{a = -5.}\end{array}} \right.\)

Значит, при  \(a = 0,\;\;\;\;a = 3,\;\;\;\;a = -5\)  корни числителя и знаменателя совпадают, поэтому при этих значениях исходное уравнение не будет иметь двух различных корней.

Так как  \(a < 4,\)  то уравнение будет иметь два различных корня при  \(a \in \left( {-\infty ;\,-5} \right) \cup \left( {-5;0} \right) \cup \left( {0;\,3} \right) \cup \left( {3;\,4} \right).\)

Ответ:  \(\left( {-\infty ;\,-5} \right) \cup \left( {-5;0} \right) \cup \left( {0;\,3} \right) \cup \left( {3;\,4} \right).\)