Профиль №18. Исследование дискриминанта и применение теоремы Виета. Задача 10Вmath100admin44242025-03-27T22:41:15+03:00
10В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \(4{\sin^4}5x-4\left( {a + 1} \right){\sin^2}5x-2a-3 = 0\) имеет хотя бы один корень.
Ответ
ОТВЕТ: \(\left[ {-1,5;\,-0,5} \right].\)
Решение
Пусть \({\sin ^2}5x = t,\;\;\;\;t \in \left[ {0;1} \right].\) Тогда исходное уравнение примет вид:
\(4{t^2}-4\left( {a + 1} \right)t-2a-3 = 0;\;\;\;\;D = 16\left( {{a^2} + 2a + 1} \right) + 32a + 48 = \)
\( = 16{a^2} + 32a + 16 + 32a + 48 = 16{a^2} + 64a + 64 = {\left( {4a + 8} \right)^2};\)
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \dfrac{{4a + 4 + 4a + 8}}{8},}\\{t = \dfrac{{4a + 4-4a-8}}{8}\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = a + 1,5,\;\;\;\;\,\;\;\;}\\{t = -0,5 \notin \left[ {0;1} \right].}\end{array}} \right.\)
Следовательно, уравнение будет иметь хотя бы один корень, если:
\(0 \le a + 1,5 \le 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-1,5 \le a \le -0,5.\)
Ответ: \(\left[ {-1,5;\,-0,5} \right].\)