10В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение  \(4{\sin^4}5x-4\left( {a + 1} \right){\sin^2}5x-2a-3 = 0\)  имеет хотя бы один корень.

Ответ

ОТВЕТ:  \(\left[ {-1,5;\,-0,5} \right].\)

Решение

Пусть  \({\sin ^2}5x = t,\;\;\;\;t \in \left[ {0;1} \right].\)  Тогда исходное уравнение примет вид:

\(4{t^2}-4\left( {a + 1} \right)t-2a-3 = 0;\;\;\;\;D = 16\left( {{a^2} + 2a + 1} \right) + 32a + 48 = \)

\( = 16{a^2} + 32a + 16 + 32a + 48 = 16{a^2} + 64a + 64 = {\left( {4a + 8} \right)^2};\)

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{{4a + 4 + 4a + 8}}{8},}\\{t = \frac{{4a + 4-4a-8}}{8}\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = a + 1,5,\;\;\;\;\,\;\;\;}\\{t = -0,5 \notin \left[ {0;1} \right].}\end{array}} \right.\)

Следовательно, уравнение будет иметь хотя бы один корень, если:

\(0 \le a + 1,5 \le 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-1,5 \le a \le -0,5.\)

Ответ:  \(\left[ {-1,5;\,-0,5} \right].\)