Исследование дискриминанта и применение теоремы Виета. Задача 10А

10А. Решите уравнение при всех значениях параметра а: \(\left( {{a^2} — 4} \right){x^2} + \left( {6a + 12} \right)x + 3a + 6 = 0.\)

Ответ

ОТВЕТ: нет решений при \(a \in \left( {5;\,\infty } \right);\) \(x \in R\) при \(a = — 2;\) \(x = — 0,5\) при \(a = 2;\) \(x = — 1\) при \(a = 5;\) \({x_{1,2}} = \frac{{ — 3 \pm \sqrt {15 — 3a} }}{{a — 2}}\) при \(a \in \left( { — \infty ; — 2} \right) \cup \left( { — 2;2} \right) \cup \left( {2;5} \right).\)

Решение

Если \({a^2}-4 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2,\,\,\,\,}\\{a = -2,\,}\end{array}} \right.\,\) то уравнение является линейным.

При \(a = -2\) получим \(0 \cdot {x^2} + 0 \cdot x + 0 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x\, \in \,R.\)

При \(a = 2\) получим \(24x + 12 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = -\frac{1}{2}.\)

Если \(a \ne 2\) и \(a \ne -2\), то

\(\left( {a-2} \right)\left( {a + 2} \right){x^2} + 6\left( {a + 2} \right)x + 3\left( {a + 2} \right) = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left( {a + 2} \right)\left( {\left( {a-2} \right){x^2} + 6x + 3} \right) = 0\,\left| {:\left( {a + 2} \right) \ne 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow } \right.\,\,\,\,\,\left( {a-2} \right){x^2} + 6x + 3 = 0.\)

\(D = 36-12\left( {a-2} \right) = -12a + 60\)

Если \(D < 0\), то есть \(-12a + 60 < 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,a > 5,\) то уравнение не имеет решений.

Если \(D = 0\), то есть \(-12a + 60 = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,a = 5,\) то \(x = \frac{{-6}}{{2\left( {a-2} \right)}} = \frac{{-6}}{{2 \cdot 3}} = -1.\)

Если \(D > 0\), то есть \(-12a + 60 > 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,a < 5,\) то:

\({x_1} = \frac{{-6 + \sqrt {60-12a} }}{{2\left( {a-2} \right)}} = \frac{{-3 + \sqrt {15-3a} }}{{a-2}};\,\,\,\,\,\,\,\,\,{x_2} = \frac{{-3-\sqrt {15-3a} }}{{a-2}}.\)