\(\cos 14x + 2\left( {5a + 9} \right)\sin 7x-110a + 43 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;1-2{\sin ^2}7x + 2\left( {5a + 9} \right)\sin 7x-110a + 43 = 0.\)
Пусть \(\sin 7x = t,\;\;\;\;t \in \left[ {-1;1} \right].\) Тогда исходное уравнение примет вид:
\(2{t^2}-2\left( {5a + 9} \right)t + 110a-44 = 0;\;\;\;\;D = 4\left( {25{a^2} + 90a + 81} \right)-880a + 352 = \)
\( = 100{a^2} + 360a + 324-880a + 352 = 100{a^2}-520a + 676 = {\left( {10a-26} \right)^2};\)
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \dfrac{{10a + 18 + 10a-26}}{4},}\\{t = \dfrac{{10a + 18-10a + 26}}{4}\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 5a-2,\;\;\,\;\;\,\;}\\{t = 11 \notin \left[ {-1;1} \right].}\end{array}} \right.\)
Следовательно, уравнение будет иметь хотя бы один корень, если:
\(-1 \le 5a-2 \le 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;1 \le 5a \le 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\;\;\;0,2 \le a \le 0,6.\)
Ответ: \(\left[ {0,2;\,0,6} \right].\)