12В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение  \(\cos 18x + 4\left( {a-1} \right)\sin 9x-20a + 69 = 0\)  имеет хотя бы один корень.

Ответ

ОТВЕТ:  \(\left[ {3;\,4} \right].\)

Решение

\(\cos 18x + 4\left( {a-1} \right)\sin 9x-20a + 69 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;1-2{\sin ^2}9x + 4\left( {a-1} \right)\sin 9x-20a + 69 = 0.\)

Пусть  \(\sin 9x = t,\;\;\;\;t \in \left[ {-1;1} \right].\)  Тогда исходное уравнение примет вид:

\(2{t^2}-4\left( {a-1} \right)t + 20a-70 = 0;\;\;\;\;D = 16\left( {{a^2}-2a + 1} \right)-160a + 560 = \)

\( = 16{a^2}-32a + 16-160a + 560 = 16{a^2}-192a + 576 = {\left( {4a-24} \right)^2};\)

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{{4a-4 + 4a-24}}{4},}\\{t = \frac{{4a-4-4a + 24}}{4}\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 2a-7,\;\;\;\;\,}\\{t = 5 \notin \left[ {-1;1} \right].}\end{array}} \right.\)

Следовательно, уравнение будет иметь хотя бы один корень, если:

\(-1 \le 2a-7 \le 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;6 \le 2a \le 8\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\;\;\;3 \le a \le 4.\)

Ответ:  \(\left[ {3;\,4} \right].\)