Профиль №18. Исследование дискриминанта и применение теоремы Виета. Задача 12Вmath100admin44242025-03-27T22:42:21+03:00
12В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \(\cos 18x + 4\left( {a-1} \right)\sin 9x-20a + 69 = 0\) имеет хотя бы один корень.
Ответ
ОТВЕТ: \(\left[ {3;\,4} \right].\)
Решение
\(\cos 18x + 4\left( {a-1} \right)\sin 9x-20a + 69 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;1-2{\sin ^2}9x + 4\left( {a-1} \right)\sin 9x-20a + 69 = 0.\)
Пусть \(\sin 9x = t,\;\;\;\;t \in \left[ {-1;1} \right].\) Тогда исходное уравнение примет вид:
\(2{t^2}-4\left( {a-1} \right)t + 20a-70 = 0;\;\;\;\;D = 16\left( {{a^2}-2a + 1} \right)-160a + 560 = \)
\( = 16{a^2}-32a + 16-160a + 560 = 16{a^2}-192a + 576 = {\left( {4a-24} \right)^2};\)
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \dfrac{{4a-4 + 4a-24}}{4},}\\{t = \dfrac{{4a-4-4a + 24}}{4}\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 2a-7,\;\;\;\;\,}\\{t = 5 \notin \left[ {-1;1} \right].}\end{array}} \right.\)
Следовательно, уравнение будет иметь хотя бы один корень, если:
\(-1 \le 2a-7 \le 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;6 \le 2a \le 8\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\;\;\;3 \le a \le 4.\)
Ответ: \(\left[ {3;\,4} \right].\)