13В. Решите уравнение при всех значениях параметра а: \(\arcsin \left( {\left( {a-1} \right)x-1-\left( {a-1} \right){x^2}} \right) + \arcsin \,x = 0.\)
ОТВЕТ: \(x = 1\) при \(a \in \left( {0;\,2} \right];\) \(x = 1,\,\,\,\,\,x = \dfrac{1}{{a-1}}\) при \(a \in \left( {-\infty ;\,0} \right] \cup \left( {2;\,\infty } \right).\)
Так как \(-\arcsin \left( x \right) = \arcsin \left( {-x} \right),\) то исходное уравнение примет вид: \(\arcsin \left( {\left( {a-1} \right)x-1-\left( {a-1} \right){x^2}} \right) = \arcsin \,\left( {-x} \right).\) Воспользуемся тем, что функция \(y = \arcsin \left( x \right)\) монотонная. Поэтому последнее уравнение равносильно системе: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {a-1} \right)x-1-\left( {a-1} \right){x^2} = -x,}\\{-1 \le -x \le 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {a-1} \right)\left( {x-{x^2}} \right) + x-1 = 0,}\\{-1 \le x \le 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {x-1} \right)\left( {-x\left( {a-1} \right) + 1} \right) = 0,}\\{-1 \le x \le 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1,\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{x\left( {a-1} \right) = 1}\end{array}} \right.}\\{-1 \le x \le 1.\;\;\,}\end{array}} \right.\) Заметим, что \(x = 1 \in \left[ {-1;1} \right].\) Рассмотрим второе уравнение полученной системы: если \(a = 1,\) то уравнение примет вид \(x \cdot 0 = 1,\) то есть оно не имеет решений; если \(a \ne 1,\) то \(x = \dfrac{1}{{a-1}}.\) Следовательно, это значение будет являться решением, если: \(-1 \le \dfrac{1}{{a-1}} \le 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{1}{{a-1}} \le 1,\;\,}\\{\dfrac{1}{{a-1}} \ge -1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{a-2}}{{a-1}} \ge 0,}\\{\dfrac{a}{{a-1}} \ge 0\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left( {-\infty ;1} \right) \cup \left[ {2;\infty } \right),}\\{a \in \left( {-\infty ;0} \right] \cup \left( {1;\infty } \right)\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {-\infty ;0} \right] \cup \left[ {2;\infty } \right).\) Найдём, при каком значении параметра a корни \(x = 1\) и \(x = \dfrac{1}{{a-1}}\) совпадают: \(\dfrac{1}{{a-1}} = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a-1 = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = 2.\) Таким образом, \(x = 1\) при \(a \in \left( {0;\,2} \right];\) \(x = 1,\,\,\,\,\,x = \dfrac{1}{{a-1}}\) при \(a \in \left( {-\infty ;\,0} \right] \cup \left( {2;\,\infty } \right).\) Ответ: \(x = 1\) при \(a \in \left( {0;\,2} \right];\) \(x = 1,\,\,\,\,\,x = \dfrac{1}{{a-1}}\) при \(a \in \left( {-\infty ;\,0} \right] \cup \left( {2;\,\infty } \right).\)