13В. Решите уравнение при всех значениях параметра а:  \(\arcsin \left( {\left( {a-1} \right)x-1-\left( {a-1} \right){x^2}} \right) + \arcsin \,x = 0.\) 

Ответ

ОТВЕТ:  \(x = 1\)  при  \(a \in \left( {0;\,2} \right];\)  \(x = 1,\,\,\,\,\,x = \frac{1}{{a-1}}\)  при  \(a \in \left( {-\infty ;\,0} \right] \cup \left( {2;\,\infty } \right).\)

Решение

Так как  \(-\arcsin \left( x \right) = \arcsin \left( {-x} \right),\)  то исходное уравнение примет вид:

\(\arcsin \left( {\left( {a-1} \right)x-1-\left( {a-1} \right){x^2}} \right) = \arcsin \,\left( {-x} \right).\)

Воспользуемся тем, что функция  \(y = \arcsin \left( x \right)\)  монотонная. Поэтому последнее уравнение равносильно системе:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {a-1} \right)x-1-\left( {a-1} \right){x^2} = -x,}\\{-1 \le -x \le 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {a-1} \right)\left( {x-{x^2}} \right) + x-1 = 0,}\\{-1 \le x \le 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {x-1} \right)\left( {-x\left( {a-1} \right) + 1} \right) = 0,}\\{-1 \le x \le 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1,\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{x\left( {a-1} \right) = 1}\end{array}} \right.}\\{-1 \le x \le 1.\;\;\,}\end{array}} \right.\)

Заметим, что  \(x = 1 \in \left[ {-1;1} \right].\)  Рассмотрим второе уравнение полученной системы:

если  \(a = 1,\)  то уравнение примет вид  \(x \cdot 0 = 1,\)  то есть оно не имеет решений;

если  \(a \ne 1,\)  то  \(x = \frac{1}{{a-1}}.\)  Следовательно, это значение будет являться решением, если:

\(-1 \le \frac{1}{{a-1}} \le 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{a-1}} \le 1,\;\,}\\{\frac{1}{{a-1}} \ge -1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{a-2}}{{a-1}} \ge 0,}\\{\frac{a}{{a-1}} \ge 0\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left( {-\infty ;1} \right) \cup \left[ {2;\infty } \right),}\\{a \in \left( {-\infty ;0} \right] \cup \left( {1;\infty } \right)\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {-\infty ;0} \right] \cup \left[ {2;\infty } \right).\)

Найдём, при каком значении параметра  a  корни  \(x = 1\)  и  \(x = \frac{1}{{a-1}}\)  совпадают:

\(\frac{1}{{a-1}} = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a-1 = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = 2.\)

Таким образом,  \(x = 1\)  при  \(a \in \left( {0;\,2} \right];\)  \(x = 1,\,\,\,\,\,x = \frac{1}{{a-1}}\)  при  \(a \in \left( {-\infty ;\,0} \right] \cup \left( {2;\,\infty } \right).\)

Ответ:  \(x = 1\)  при  \(a \in \left( {0;\,2} \right];\)  \(x = 1,\,\,\,\,\,x = \frac{1}{{a-1}}\)  при  \(a \in \left( {-\infty ;\,0} \right] \cup \left( {2;\,\infty } \right).\)