14В. Решите уравнение при всех значениях параметра а:  \(\arccos \left( {a\,{x^2}-\left( {a + 1} \right)x + 2} \right) + \arccos \left( {-x} \right) = \pi .\)

Ответ

ОТВЕТ:  \(x = 1\)  при \(a \in \left( {-2;\,2} \right];\)  \(x = 1,\,\,\,\,x = \frac{2}{a}\)  при  \(a \in \left( {-\infty ;\,-2} \right] \cup \left( {2;\,\infty } \right).\)

Решение

Так как  \(\arccos \left( {-x} \right) = \pi -\arccos \left( x \right),\)  то исходное уравнение примет вид:

\(\arccos \left( {a\,{x^2}-\left( {a + 1} \right)x + 2} \right) + \pi -\arccos \left( x \right) = \pi \;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\arccos \left( {a\,{x^2}-\left( {a + 1} \right)x + 2} \right) = \arccos \left( x \right).\)

Воспользуемся тем, что функция  \(y = \arccos \left( x \right)\)  монотонная. Поэтому последнее уравнение равносильно системе:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a\,{x^2}-\left( {a + 1} \right)x + 2 = x,}\\{-1 \le x \le 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a\,{x^2}-ax-x + 2-x = 0,}\\{-1 \le x \le 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,\;\,\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a\,x\left( {x-1} \right)-2\left( {x-1} \right) = 0,}\\{-1 \le x \le 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {a\,x-2} \right)\left( {x-1} \right) = 0,}\\{-1 \le x \le 1\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1,\,\,}\\{ax = 2}\end{array}\;\;\;\;} \right.}\\{-1 \le x \le 1.}\end{array}} \right.\)

Заметим, что  \(x = 1 \in \left[ {-1;1} \right].\)  Рассмотрим второе уравнение полученной системы:

если  \(a = 0,\)  то уравнение примет вид  \(x \cdot 0 = 2,\)  то есть оно не имеет решений;

если  \(a \ne 0,\)  то  \(x = \frac{2}{a}.\)  Следовательно, это значение будет являться решением, если:

\(-1 \le \frac{2}{a} \le 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{2}{a} \le 1,\;\,}\\{\frac{2}{a} \ge -1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{a-2}}{a} \ge 0,}\\{\frac{{2 + a}}{a} \ge 0\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left( {-\infty ;0} \right) \cup \left[ {2;\infty } \right),\,}\\{a \in \left( {-\infty ;-2} \right] \cup \left( {0;\infty } \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {-\infty ;-2} \right] \cup \left[ {2;\infty } \right).\)

Найдём, при каком значении параметра  a  корни  \(x = 1\)  и  \(x = \frac{1}{{a-1}}\)  совпадают:

\(\frac{1}{{a-1}} = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a-1 = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = 2.\)

Таким образом,  \(x = 1\)  при \(a \in \left( {-2;\,2} \right];\)  \(x = 1,\,\,\,\,x = \frac{2}{a}\)  при  \(a \in \left( {-\infty ;\,-2} \right] \cup \left( {2;\,\infty } \right).\)

Ответ:  \(x = 1\)  при \(a \in \left( {-2;\,2} \right];\)  \(x = 1,\,\,\,\,x = \frac{2}{a}\)  при  \(a \in \left( {-\infty ;\,-2} \right] \cup \left( {2;\,\infty } \right).\)