14В. Решите уравнение при всех значениях параметра а: \(\arccos \left( {a\,{x^2}-\left( {a + 1} \right)x + 2} \right) + \arccos \left( {-x} \right) = \pi .\)
ОТВЕТ: \(x = 1\) при \(a \in \left( {-2;\,2} \right];\) \(x = 1,\,\,\,\,x = \dfrac{2}{a}\) при \(a \in \left( {-\infty ;\,-2} \right] \cup \left( {2;\,\infty } \right).\)
Так как \(\arccos \left( {-x} \right) = \pi -\arccos \left( x \right),\) то исходное уравнение примет вид: \(\arccos \left( {a\,{x^2}-\left( {a + 1} \right)x + 2} \right) + \pi -\arccos \left( x \right) = \pi \;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\arccos \left( {a\,{x^2}-\left( {a + 1} \right)x + 2} \right) = \arccos \left( x \right).\) Воспользуемся тем, что функция \(y = \arccos \left( x \right)\) монотонная. Поэтому последнее уравнение равносильно системе: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a\,{x^2}-\left( {a + 1} \right)x + 2 = x,}\\{-1 \le x \le 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a\,{x^2}-ax-x + 2-x = 0,}\\{-1 \le x \le 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,\;\,\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a\,x\left( {x-1} \right)-2\left( {x-1} \right) = 0,}\\{-1 \le x \le 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {a\,x-2} \right)\left( {x-1} \right) = 0,}\\{-1 \le x \le 1\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1,\,\,}\\{ax = 2}\end{array}\;\;\;\;} \right.}\\{-1 \le x \le 1.}\end{array}} \right.\) Заметим, что \(x = 1 \in \left[ {-1;1} \right].\) Рассмотрим второе уравнение полученной системы: если \(a = 0,\) то уравнение примет вид \(x \cdot 0 = 2,\) то есть оно не имеет решений; если \(a \ne 0,\) то \(x = \dfrac{2}{a}.\) Следовательно, это значение будет являться решением, если: \(-1 \le \dfrac{2}{a} \le 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{2}{a} \le 1,\;\,}\\{\dfrac{2}{a} \ge -1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{a-2}}{a} \ge 0,}\\{\dfrac{{2 + a}}{a} \ge 0\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left( {-\infty ;0} \right) \cup \left[ {2;\infty } \right),\,}\\{a \in \left( {-\infty ;-2} \right] \cup \left( {0;\infty } \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {-\infty ;-2} \right] \cup \left[ {2;\infty } \right).\) Найдём, при каком значении параметра a корни \(x = 1\) и \(x = \dfrac{1}{{a-1}}\) совпадают: \(\dfrac{1}{{a-1}} = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a-1 = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = 2.\) Таким образом, \(x = 1\) при \(a \in \left( {-2;\,2} \right];\) \(x = 1,\,\,\,\,x = \dfrac{2}{a}\) при \(a \in \left( {-\infty ;\,-2} \right] \cup \left( {2;\,\infty } \right).\) Ответ: \(x = 1\) при \(a \in \left( {-2;\,2} \right];\) \(x = 1,\,\,\,\,x = \dfrac{2}{a}\) при \(a \in \left( {-\infty ;\,-2} \right] \cup \left( {2;\,\infty } \right).\)