Найдём ОДЗ: \({x^2}-3x + 4 \ne 0;\;\;\;\;\,\,D = 9-16 = -7 < 0;\,\;\;\;\,\;x \in R.\)
\(\dfrac{{2{x^2}-6x + 3}}{{{x^2}-3x + 4}} = a + 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2{x^2}-6x + 3-\left( {a + 1} \right){x^2} + 3\left( {a + 1} \right)x-4\left( {a + 1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\)\(\left( {-a + 1} \right){x^2} + \left( {3a-3} \right)x-4a-1 = 0.\)
Если \(a = 1,\) то уравнение является линейным \(0 \cdot {x^2} + 0 \cdot x-4-1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\)
Полученное квадратное уравнение будет иметь хотя бы один корень, если \(D \ge 0\) и \(a \ne 1.\)
\(D = 9{\left( {a-1} \right)^2}-4\left( {a-1} \right)\left( {4a + 1} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {a-1} \right)\left( {9a-9-16a-4} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {a-1} \right)\left( {7a + 13} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left[ {-\dfrac{{13}}{7};1} \right].\)
Так как \(a \ne 1,\) то исходное уравнение будет иметь хотя бы один корень при \(a \in \left[ {-\dfrac{{13}}{7};\,1} \right).\)
Ответ: \(\left[ {-\dfrac{{13}}{7};\,1} \right).\)