15В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение  \(\frac{{2{x^2}-6x + 3}}{{{x^2}-3x + 4}} = a + 1\)  имеет хотя бы один корень.

Ответ

ОТВЕТ:  \(\left[ {-\frac{{13}}{7};\,1} \right).\)

Решение

Найдём ОДЗ:  \({x^2}-3x + 4 \ne 0;\;\;\;\;\,\,D = 9-16 = -7 < 0;\,\;\;\;\,\;x \in R.\)

\(\frac{{2{x^2}-6x + 3}}{{{x^2}-3x + 4}} = a + 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2{x^2}-6x + 3-\left( {a + 1} \right){x^2} + 3\left( {a + 1} \right)x-4\left( {a + 1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\)\(\left( {-a + 1} \right){x^2} + \left( {3a-3} \right)x-4a-1 = 0.\)

Если  \(a = 1,\)  то уравнение является линейным  \(0 \cdot {x^2} + 0 \cdot x-4-1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\)

Полученное квадратное уравнение будет иметь хотя бы один корень, если  \(D \ge 0\)  и  \(a \ne 1.\)

\(D = 9{\left( {a-1} \right)^2}-4\left( {a-1} \right)\left( {4a + 1} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {a-1} \right)\left( {9a-9-16a-4} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {a-1} \right)\left( {7a + 13} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left[ {-\frac{{13}}{7};1} \right].\)

Так как  \(a \ne 1,\)  то исходное уравнение будет иметь хотя бы один корень при  \(a \in \left[ {-\frac{{13}}{7};\,1} \right).\)

Ответ:  \(\left[ {-\frac{{13}}{7};\,1} \right).\)