Исследование дискриминанта и применение теоремы Виета. Задача 15А

15А. При каких значениях параметра а уравнение \({\left( {x + 2a} \right)^2} + {\left( {x — 6a} \right)^2} = 200\) имеет два различных корня, среднее арифметическое которых равно 2?

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Решение

\({\left( {x + 2a} \right)^2} + {\left( {x-6a} \right)^2} = 200\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{x^2} + 4ax + 4{a^2} + {x^2}-12ax + 36{a^2}-200 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{x^2}-4ax + 20{a^2}-100 = 0;\,\,\,\,\,\,\,\)

\(D = 16{a^2}-80{a^2} + 400 = 400-64{a^2} > 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,a\, \in \,\left( {-\dfrac{5}{2};\dfrac{5}{2}} \right).\)

По теореме Виета: \({x_1} + {x_2} = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{{-4a}}{1} = 4a.\)

Среднее арифметическое: \(\dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = \dfrac{{4a}}{2} = 2a = 2\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,a = 1 \in \left( {-\dfrac{5}{2};\dfrac{5}{2}} \right).\)

ОТВЕТ: 1.