16В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \(\frac{{{x^2}-4x + 3}}{{{x^2}-4x + 7}} = \frac{{a + 2}}{3}\) имеет хотя бы один корень.
ОТВЕТ: \(\left[ {-3;\,1} \right).\)
Найдём ОДЗ: \({x^2}-4x + 7 \ne 0;\,\,\;\;\;\;D = 16-28 = -12 < 0;\;\;\;\;\;\;x \in R.\) \(\frac{{{x^2}-4x + 3}}{{{x^2}-4x + 7}} = \frac{{a + 2}}{3}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;3{x^2}-12x + 9-\left( {a + 2} \right){x^2} + 4\left( {a + 2} \right)x-7\left( {a + 2} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\)\(\left( {-a + 1} \right){x^2} + \left( {4a-4} \right)x-7a-5 = 0.\) Если \(a = 1,\) то уравнение является линейным \(0 \cdot {x^2} + 0 \cdot x-12 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\) Полученное квадратное уравнение будет иметь хотя бы один корень, если \(D \ge 0\) и \(a \ne 1.\) \(D = 16{\left( {a-1} \right)^2}-4\left( {a-1} \right)\left( {7a + 5} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {a-1} \right)\left( {16a-16-28a-20} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {a-1} \right)\left( {12a + 36} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left[ {-3;1} \right].\) Так как \(a \ne 1,\) то исходное уравнение будет иметь хотя бы один корень при \(a \in \left[ {-3;\,1} \right).\) Ответ: \(\left[ {-3;\,1} \right).\)