Исследование дискриминанта и применение теоремы Виета. Задача 16А

ОТВЕТ: -1.

\({\left( {x-2a} \right)^2} + {\left( {x-4a} \right)^2} = 242\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{x^2}-4ax + 4{a^2} + {x^2}-8ax + 16{a^2}-242 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{x^2}-6ax + 10{a^2}-121 = 0;\)

\(D = 36{a^2}-40{a^2} + 484 = 484-4{a^2} > 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,a\, \in \,\left( {-11;11} \right).\)

По теореме Виета:  \({x_1} + {x_2} = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{{-6a}}{1} = 6a.\)

Среднее арифметическое:   \(\dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = \dfrac{{6a}}{2} = 3a = -3\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,a = -1 \in \left( {-11;11} \right).\)

ОТВЕТ: -1.