Найдём ОДЗ: \({x^2}-5x + 9 \ne 0;\,\;\;\;\;\;D = 25-36 = -11 < 0;\;\;\;\;\;\;x \in R.\)
\(\dfrac{{\left( {2a + 1} \right){x^2}-2\left( {a + 5} \right)x + 18a + 9}}{{{x^2}-5x + 9}} = 3a\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {2a + 1} \right){x^2}-2\left( {a + 5} \right)x + 18a + 9-3a\left( {{x^2}-5x + 9} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {2a-3a + 1} \right){x^2}-\left( {2a + 10-15a} \right)x + 18a + 9-27a = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {-a + 1} \right){x^2} + \left( {13a-10} \right)x-9a + 9 = 0.\)
Рассмотрим полученное уравнение.
Если \(a = 1,\) то уравнение является линейным:
\(0 \cdot {x^2} + 3 \cdot x-9 + 9 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = 0.\)
Значит при \(a = 1\) уравнение имеет решение, то есть \(a = 1\) подходит.
Квадратное уравнение имеет хотя бы один корень, если \(D \ge 0:\)
\(D = {\left( {13a-10} \right)^2}-4 \cdot 9 \cdot {\left( {-a + 1} \right)^2} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {13a-10 + 6a-6} \right)\left( {13a-10-6a + 6} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {19a-16} \right)\left( {7a-4} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {-\infty ;\,\dfrac{4}{7}} \right] \cup \left[ {\dfrac{{16}}{{19}};\,\infty } \right).\)
Ответ: \(\left( {-\infty ;\,\dfrac{4}{7}} \right] \cup \left[ {\dfrac{{16}}{{19}};\,\infty } \right).\)