17А. При каких значениях параметра а уравнение \({x^2} + 2\left( {{a^2} + 7a + 3} \right)x + 9 = 0\) имеет два различных положительных корня?
Заданное квадратное уравнение будет иметь два различных положительных корня, если выполняются условия: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{D > 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{x_1} + {x_2} = -\frac{b}{a} > 0,}\\{{x_1} \cdot {x_2} = \frac{c}{a} > 0\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4{{\left( {{a^2} + 7a + 3} \right)}^2}-4 \cdot 9 > 0,}\\{-2\left( {{a^2} + 7a + 3} \right) > 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{9 > 0.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\) Рассмотрим первое неравенство последней системы: \({\left( {{a^2} + 7a + 3} \right)^2}-{3^2} > 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left( {{a^2} + 7a + 3-3} \right)\left( {{a^2} + 7a + 3 + 3} \right) > 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left( {{a^2} + 7a} \right)\left( {{a^2} + 7a + 6} \right) > 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,a\left( {a + 7} \right)\left( {a + 1} \right)\left( {a + 6} \right) > 0.\) Следовательно, решение первого неравенства: \(a\, \in \,\left( {-\infty ;-7} \right) \cup \left( {-6;-1} \right) \cup \left( {0;\infty } \right).\) Рассмотри второе неравенство: \(-2\left( {{a^2} + 7a + 3} \right) > 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{a^2} + 7a + 3 < 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,a\, \in \,\left( {\frac{{-7-\sqrt {37} }}{2};\frac{{-7 + \sqrt {37} }}{2}} \right).\) Следовательно: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4{{\left( {{a^2} + 7a + 3} \right)}^2}-4 \cdot 9 > 0,}\\{-2\left( {{a^2} + 7a + 3} \right) > 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{9 > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a\, \in \,\left( {-\infty ;-7} \right) \cup \left( {-6;-1} \right) \cup \left( {0;\infty } \right),}\\{a\, \in \,\left( {\frac{{-7-\sqrt {37} }}{2};\frac{{-7 + \sqrt {37} }}{2}} \right).\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\) Найдём общее: Таким образом, \(a\, \in \,\left( {-6;-1} \right).\) ОТВЕТ: \(\left( { — 6;\, — 1} \right).\)
