18В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \(\frac{{\left( {a + 1} \right){x^2} + \left( {5a + 4} \right)x + 9a + 9}}{{{x^2} + 5x + 9}} = 2a\) имеет хотя бы один корень.
ОТВЕТ: \(\left[ {\frac{{10}}{{11}};\,2} \right].\)
Найдём ОДЗ: \({x^2} + 5x + 9 \ne 0;\;\;\;\;\;D = 25-36 = -11 < 0;\;\;\;\;\;x \in R.\) \(\frac{{\left( {a + 1} \right){x^2} + \left( {5a + 4} \right)x + 9a + 9}}{{{x^2} + 5x + 9}} = 2a\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {a + 1} \right){x^2} + \left( {5a + 4} \right)x + 9a + 9-2a\left( {{x^2} + 5x + 9} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {a-2a + 1} \right){x^2} + \left( {5a + 4-10a} \right)x + 9a + 9-18a = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {a-1} \right){x^2} + \left( {5a-4} \right)x + 9a-9 = 0.\) Рассмотрим полученное уравнение. Если \(a = 1,\) то уравнение является линейным: \(0 \cdot {x^2} + 1 \cdot x + 9-9 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = 0.\) Значит при \(a = 1\) уравнение имеет решение, то есть \(a = 1\) подходит. Квадратное уравнение имеет хотя бы один корень, если \(D \ge 0:\) \(D = {\left( {5a-4} \right)^2}-4 \cdot 9 \cdot {\left( {a-1} \right)^2} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {5a-4 + 6a-6} \right)\left( {5a-4-6a + 6} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {11a-10} \right)\left( {a-2} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left[ {\frac{{10}}{{11}};2} \right].\) Ответ: \(\left[ {\frac{{10}}{{11}};\,2} \right].\)