18А. При каких значениях параметра а уравнение \({x^2} + 2\left( {{a^2} — 6a — 3} \right)x + 16 = 0\) имеет два различных отрицательных корня?
ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\, — 1} \right) \cup \left( {7;\,\infty } \right).\)
Заданное квадратное уравнение будет иметь два различных отрицательных корня, если выполняются условия: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{D > 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{x_1} + {x_2} = -\dfrac{b}{a} < 0,}\\{{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a} > 0\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4{{\left( {{a^2}-6a-3} \right)}^2}-4 \cdot 16 > 0,}\\{-2\left( {{a^2}-6a-3} \right) < 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{16 > 0.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\) Рассмотрим первое неравенство последней системы: \({\left( {{a^2}-6a-3} \right)^2}-{4^2} > 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left( {{a^2}-6a-3-4} \right)\left( {{a^2}-6a-3 + 4} \right) > 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left( {{a^2}-6a-7} \right)\left( {{a^2}-6a + 1} \right) > 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left( {a + 1} \right)\left( {a-7} \right)\left( {a-3 + \sqrt 8 } \right)\left( {a-3-\sqrt 8 } \right) > 0.\) Следовательно, решение первого неравенства: \(a\, \in \,\left( {-\infty ;-1} \right) \cup \left( {3-\sqrt 8 ;3 + \sqrt 8 } \right) \cup \left( {7;\infty } \right).\) Рассмотри второе неравенство: \(-2\left( {{a^2}-6a-3} \right) < 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,{a^2}-6a-3 > 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,a\, \in \,\left( {-\infty ;3-\sqrt {12} } \right) \cup \left( {3 + \sqrt {12} ;\infty } \right).\) Следовательно: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4{{\left( {{a^2} + 7a + 3} \right)}^2}-4 \cdot 9 > 0,}\\{-2\left( {{a^2} + 7a + 3} \right) > 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{9 > 0.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a\, \in \,\left( {-\infty ;-1} \right) \cup \left( {3-\sqrt 8 ;3 + \sqrt 8 } \right) \cup \left( {7;\infty } \right),}\\{a\, \in \,\left( {-\infty ;3-\sqrt {12} } \right) \cup \left( {3 + \sqrt {12} ;\infty } \right).\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\) Найдём общее: Таким образом, \(a\, \in \,\left( {-\infty ;-1} \right) \cup \left( {7;\infty } \right).\) ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\, — 1} \right) \cup \left( {7;\,\infty } \right).\) 
