Исследование дискриминанта и применение теоремы Виета. Задача 19Аmath100admin44242025-03-27T20:51:37+03:00
19А. При каких значениях параметра а уравнение \(a\,{x^2} — \left( {a + 1} \right)x + 2{a^2} — 5a — 3 = 0\) имеет два корня разных знаков?
Ответ
ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ; — 0,5} \right) \cup \left( {0;\,3} \right).\)
Решение
Чтобы уравнение являлось квадратным должно выполняться условие \(a \ne 0\). Корни будут разных знаков, если: \({x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a} < 0.\)
Замечание: нет необходимости проверять знак дискриминанта: так как \(\dfrac{c}{a} < 0\), то \(a \cdot c < 0\) и \(D = {b^2}-4ac > 0\).
\({x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{{2{a^2}-5a-3}}{a} < 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{\left( {2a + 1} \right)\left( {a-3} \right)}}{a} < 0.\)
Таким образом, уравнение будет иметь два корня разных знаков при \(a\, \in \,\left( {-\infty ;-\dfrac{1}{2}} \right) \cup \left( {0;3} \right).\)
ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ; — 0,5} \right) \cup \left( {0;\,3} \right).\)