2В. (ЕГЭ 2019). Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \(\dfrac{{{x^2}-2x + {a^2}-4a}}{{{x^2}-a\,}} = 0\) имеет ровно два различных корня.
ОТВЕТ: \(\left( {2-\sqrt 5 ;\,0} \right) \cup \left( {0;1} \right) \cup \left( {1;\,4} \right) \cup \left( {4;\,2 + \sqrt 5 } \right).\)
\(\dfrac{{{x^2}-2x + {a^2}-4a}}{{{x^2}-a\,}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-2x + {a^2}-4a = 0,}\\{{x^2}-a\, \ne 0.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\) Исходное уравнение будет иметь два различных корня при условии, что дискриминант числителя больше нуля и корни знаменателя не совпадают с корнями числителя. Так как дискриминант числителя должен быть больше нуля, то: \({x^2}-2x + {a^2}-4a = 0;\;\;\;\;D = 4-4{a^2} + 16a > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{a^2}-4a-1 < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {a-2-\sqrt 5 } \right)\left( {a-2 + \sqrt 5 } \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {2-\sqrt 5 ;2 + \sqrt 5 } \right).\) Найдём нули знаменателя: \({x^2}-a = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} = a\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \pm \sqrt a ,\) если \(a \ge 0.\) Определим, при каких a корни знаменателя будут совпадать с корнями числителя. Если \(x = -\sqrt a ,\) то числитель примет вид; \(a + 2\sqrt a + {a^2}-4a = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{a^2}-3a + 2\sqrt a = 0.\) Пусть \(\sqrt a = t,\;\;\;\;t \ge 0.\) Тогда полученное уравнение примет вид: \({t^4}-3{t^2} + 2t = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t\left( {{t^3}-3t + 2} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t\left( {{t^3}-t-2t + 2} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;t\left( {t\left( {{t^2}-1} \right)-2\left( {t-1} \right)} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t\left( {t-1} \right)\left( {t\left( {t + 1} \right)-2} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t\left( {t-1} \right)\left( {{t^2} + t-2} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;t{\left( {t-1} \right)^2}\left( {t + 2} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0,\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{t = 1,\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{t = -2 < 0.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt a = 0,}\\{\sqrt a = 1\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 0,}\\{a = 1.}\end{array}} \right.\) Если \(x = \sqrt a ,\) то числитель примет вид; \(a-2\sqrt a + {a^2}-4a = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{a^2}-3a-2\sqrt a = 0.\) Пусть \(\sqrt a = t,\;\;\;\;t \ge 0.\) Тогда полученное уравнение примет вид: \({t^4}-3{t^2}-2t = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t\left( {{t^3}-3t-2} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t\left( {{t^3}-t-2t-2} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;t\left( {t\left( {{t^2}-1} \right)-2\left( {t + 1} \right)} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t\left( {t + 1} \right)\left( {t\left( {t-1} \right)-2} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t\left( {t + 1} \right)\left( {{t^2}-t-2} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;t{\left( {t + 1} \right)^2}\left( {t-2} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0,\;\;\;\;\,\;\;\,}\\{t = -1 < 0,}\\{t = 2.\;\;\;\;\;\;\,\,}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt a = 0,}\\{\sqrt a = 2\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 0,}\\{a = 4.}\end{array}} \right.\) Значит, при \(a = 0,\;\;\;\;a = 1,\;\;\;\;a = 4\) корни числителя и знаменателя совпадают, поэтому при этих значениях исходное уравнение не будет иметь двух различных корней. Так как \(a \in \left( {2-\sqrt 5 ;2 + \sqrt 5 } \right),\) то уравнение будет иметь два различных корня при \(a \in \left( {2-\sqrt 5 ;\,0} \right) \cup \left( {0;1} \right) \cup \left( {1;\,4} \right) \cup \left( {4;\,2 + \sqrt 5 } \right).\) Ответ: \(\left( {2-\sqrt 5 ;\,0} \right) \cup \left( {0;1} \right) \cup \left( {1;\,4} \right) \cup \left( {4;\,2 + \sqrt 5 } \right).\)