2В. (ЕГЭ 2019). Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение  \(\frac{{{x^2}-2x + {a^2}-4a}}{{{x^2}-a\,}} = 0\)  имеет ровно два различных корня.

Ответ

ОТВЕТ:  \(\left( {2-\sqrt 5 ;\,0} \right) \cup \left( {0;1} \right) \cup \left( {1;\,4} \right) \cup \left( {4;\,2 + \sqrt 5 } \right).\)

Решение

\(\frac{{{x^2}-2x + {a^2}-4a}}{{{x^2}-a\,}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-2x + {a^2}-4a = 0,}\\{{x^2}-a\, \ne 0.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\)

Исходное уравнение будет иметь два различных корня при условии, что дискриминант числителя больше нуля и корни знаменателя не совпадают с корнями числителя.

Так как дискриминант числителя должен быть больше нуля, то:

\({x^2}-2x + {a^2}-4a = 0;\;\;\;\;D = 4-4{a^2} + 16a > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;{a^2}-4a-1 < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {a-2-\sqrt 5 } \right)\left( {a-2 + \sqrt 5 } \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {2-\sqrt 5 ;2 + \sqrt 5 } \right).\)

Найдём нули знаменателя:

\({x^2}-a = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} = a\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x =  \pm \sqrt a ,\)   если  \(a \ge 0.\)

Определим, при каких  a  корни знаменателя будут совпадать с корнями числителя.

Если  \(x = -\sqrt a ,\)  то числитель примет вид;

\(a + 2\sqrt a  + {a^2}-4a = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{a^2}-3a + 2\sqrt a  = 0.\)

Пусть  \(\sqrt a  = t,\;\;\;\;t \ge 0.\)  Тогда полученное уравнение примет вид:

\({t^4}-3{t^2} + 2t = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t\left( {{t^3}-3t + 2} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t\left( {{t^3}-t-2t + 2} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;t\left( {t\left( {{t^2}-1} \right)-2\left( {t-1} \right)} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t\left( {t-1} \right)\left( {t\left( {t + 1} \right)-2} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t\left( {t-1} \right)\left( {{t^2} + t-2} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;t{\left( {t-1} \right)^2}\left( {t + 2} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0,\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{t = 1,\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{t = -2 < 0.}\end{array}} \right.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt a  = 0,}\\{\sqrt a  = 1\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 0,}\\{a = 1.}\end{array}} \right.\)

Если  \(x = \sqrt a ,\)  то числитель примет вид;

\(a-2\sqrt a  + {a^2}-4a = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{a^2}-3a-2\sqrt a  = 0.\)

Пусть  \(\sqrt a  = t,\;\;\;\;t \ge 0.\)  Тогда полученное уравнение примет вид:

\({t^4}-3{t^2}-2t = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t\left( {{t^3}-3t-2} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t\left( {{t^3}-t-2t-2} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;t\left( {t\left( {{t^2}-1} \right)-2\left( {t + 1} \right)} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t\left( {t + 1} \right)\left( {t\left( {t-1} \right)-2} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t\left( {t + 1} \right)\left( {{t^2}-t-2} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;t{\left( {t + 1} \right)^2}\left( {t-2} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0,\;\;\;\;\,\;\;\,}\\{t = -1 < 0,}\\{t = 2.\;\;\;\;\;\;\,\,}\end{array}} \right.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt a  = 0,}\\{\sqrt a  = 2\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 0,}\\{a = 4.}\end{array}} \right.\)

Значит, при  \(a = 0,\;\;\;\;a = 1,\;\;\;\;a = 4\)  корни числителя и знаменателя совпадают, поэтому при этих значениях исходное уравнение не будет иметь двух различных корней.

Так как  \(a \in \left( {2-\sqrt 5 ;2 + \sqrt 5 } \right),\)  то уравнение будет иметь два различных корня при  \(a \in \left( {2-\sqrt 5 ;\,0} \right) \cup \left( {0;1} \right) \cup \left( {1;\,4} \right) \cup \left( {4;\,2 + \sqrt 5 } \right).\)

Ответ:  \(\left( {2-\sqrt 5 ;\,0} \right) \cup \left( {0;1} \right) \cup \left( {1;\,4} \right) \cup \left( {4;\,2 + \sqrt 5 } \right).\)