20В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \({49^x} + \left( {3{a^2}-a + 3} \right) \cdot {7^x}-a-2 = 0\) имеет единственный корень.
ОТВЕТ: \(\left( {-2;\,\infty } \right).\)
Пусть \({7^x} = t,\;\;\;\;t > 0.\) Тогда исходное уравнение примет вид: \({t^2} + \left( {3{a^2}-a + 3} \right)t-a-2 = 0.\) Введём функцию \(f\left( t \right) = {t^2} + \left( {3{a^2}-a + 3} \right)t-a-2,\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вверх. Исходное уравнение будет иметь один корень в двух случаях: \(1)\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{D = 0,}\\{t > 0;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2)\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{D > 0,}\\{{t_1} > 0,\,\,}\\{{t_2} \le 0.\,}\end{array}} \right.\) Так как вершина параболы \(f\left( t \right) = {t^2} + \left( {3{a^2}-a + 3} \right)t-a-2\) равна \({t_{\rm{B}}} = -\frac{{3{a^2}-a + 3}}{2},\) а \(3{a^2}-a + 3 > 0\) при \(a \in R,\) то есть \({t_{\rm{B}}} < 0,\) то первый случай невозможен. Второй случай выполнится, если \(f\left( 0 \right) < 0,\) то есть: \(f\left( 0 \right) = {0^2} + \left( {3{a^2}-a + 3} \right) \cdot 0-a-2 < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-a-2 < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a > -2.\) Таким образом, при \(a \in \left( {-2;\,\infty } \right)\) исходное уравнение будет иметь единственный корень. Ответ: \(\left( {-2;\,\infty } \right).\)