Чтобы уравнение являлось квадратным должно выполняться условие:
\({a^2}-a-2 \ne 0;\,\,\,\,\,\,\,\,a \ne -1,\,\,\,\,\,\,\,a \ne 2\).
Корни будут разных знаков, если: \({x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a} < 0.\)
Замечание: нет необходимости проверять знак дискриминанта: так как \(\dfrac{c}{a} < 0\), то \(a \cdot c < 0\) и \(D = {b^2}-4ac > 0\).
\({x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{{{a^2} + a-2}}{{{a^2}-a-2}} < 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{\left( {a + 2} \right)\left( {a-1} \right)}}{{\left( {a-2} \right)\left( {a + 1} \right)}} < 0.\)
Таким образом, уравнение будет иметь два корня разных знаков при \(a\, \in \,\left( {-2;-1} \right) \cup \left( {1;2} \right).\)
ОТВЕТ: \(\left( {\, — 2;\, — 1} \right) \cup \left( {\,1;\,2} \right).\)