20А. При каких значениях параметра а уравнение \(\left( {{a^2} — a — 2} \right)\,{x^2} — x + {a^2} + a — 2 = 0\) имеет два корня разных знаков?
Чтобы уравнение являлось квадратным должно выполняться условие: \({a^2}-a-2 \ne 0;\,\,\,\,\,\,\,\,a \ne -1,\,\,\,\,\,\,\,a \ne 2\). Корни будут разных знаков, если: \({x_1} \cdot {x_2} = \frac{c}{a} < 0.\) Замечание: нет необходимости проверять знак дискриминанта: так как \(\frac{c}{a} < 0\), то \(a \cdot c < 0\) и \(D = {b^2}-4ac > 0\). \({x_1} \cdot {x_2} = \frac{{{a^2} + a-2}}{{{a^2}-a-2}} < 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\frac{{\left( {a + 2} \right)\left( {a-1} \right)}}{{\left( {a-2} \right)\left( {a + 1} \right)}} < 0.\) Таким образом, уравнение будет иметь два корня разных знаков при \(a\, \in \,\left( {-2;-1} \right) \cup \left( {1;2} \right).\) ОТВЕТ: \(\left( {\, — 2;\, — 1} \right) \cup \left( {\,1;\,2} \right).\)